Jika f(x)=8x-sin^3 x, nilai limit h->0 (f(x+h)-f(x))/h

8 - 3sin²x cos x

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari turunan dari fungsi f(x) menggunakan definisi limit.
Definisi turunan dari fungsi f(x) adalah:
f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h

Diketahui fungsi f(x) = 8x - sin³x.

Langkah 1: Tentukan f(x+h).
Substitusikan (x+h) ke dalam f(x):
f(x+h) = 8(x+h) - sin³(x+h)
f(x+h) = 8x + 8h - sin³(x+h)

Langkah 2: Tentukan f(x+h) - f(x).
(f(x+h) - f(x)) = [8x + 8h - sin³(x+h)] - [8x - sin³x]
= 8x + 8h - sin³(x+h) - 8x + sin³x
= 8h - [sin³(x+h) - sin³x]

Langkah 3: Tentukan [f(x+h) - f(x)] / h.
[f(x+h) - f(x)] / h = [8h - (sin³(x+h) - sin³x)] / h
= 8h/h - [sin³(x+h) - sin³x] / h
= 8 - [sin³(x+h) - sin³x] / h

Langkah 4: Hitung limit ketika h → 0.
lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h = lim (h→0) {8 - [sin³(x+h) - sin³x] / h}
= 8 - lim (h→0) [sin³(x+h) - sin³x] / h

Sekarang kita perlu mengevaluasi limit: lim (h→0) [sin³(x+h) - sin³x] / h.
Ini adalah bentuk turunan dari sin³x.
Misalkan g(x) = sin³x = (sin x)³.
Menggunakan aturan rantai:
g'(x) = 3(sin x)² * d/dx(sin x)
g'(x) = 3sin²x * cos x

Jadi, lim (h→0) [sin³(x+h) - sin³x] / h = 3sin²x cos x.

Substitusikan kembali ke dalam ekspresi limit:
Nilai limit = 8 - (3sin²x cos x)
Nilai limit = 8 - 3sin²x cos x

Jadi, nilai limit h→0 (f(x+h)-f(x))/h adalah 8 - 3sin²x cos x.