Jika f(x)=x^2/(x^2+1) dan

g(x) = -2x

Pembahasan

Untuk mencari g(x), kita perlu menurunkan f(x) menggunakan aturan kuosien. Aturan kuosien menyatakan bahwa jika f(x) = u(x)/v(x), maka f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))^2. Dalam kasus ini, u(x) = x^2 dan v(x) = x^2+1. Maka, u'(x) = 2x dan v'(x) = 2x. Mengganti ke dalam rumus aturan kuosien: f'(x) = (2x(x^2+1) - x^2(2x)) / (x^2+1)^2 = (2x^3 + 2x - 2x^3) / (x^2+1)^2 = 2x / (x^2+1)^2. Kita diberikan bahwa f'(x) = (2x(x^2+1)+x^2g(x))/(x^2+1)^2. Dengan menyamakan kedua bentuk f'(x), kita dapatkan 2x / (x^2+1)^2 = (2x(x^2+1)+x^2g(x))/(x^2+1)^2. Ini menyiratkan bahwa 2x = 2x(x^2+1) + x^2g(x). 2x = 2x^3 + 2x + x^2g(x). Mengurangi 2x dari kedua sisi: 0 = 2x^3 + x^2g(x). Mengurangi 2x^3 dari kedua sisi: -2x^3 = x^2g(x). Membagi kedua sisi dengan x^2 (dengan asumsi x tidak sama dengan 0): g(x) = -2x. Namun, ada kesalahan dalam penulisan f'(x) pada soal yang diberikan. Jika f'(x) = (2x(x^2+1) - x^2(2x)) / (x^2+1)^2, maka kita dapat menentukan g(x). F'(x) = (2x^3 + 2x - 2x^3) / (x^2+1)^2 = 2x / (x^2+1)^2. Jika f'(x) = (2x(x^2+1)+x^2g(x))/(x^2+1)^2, maka 2x = 2x(x^2+1) + x^2g(x). 2x = 2x^3 + 2x + x^2g(x). Maka, x^2g(x) = -2x^3, sehingga g(x) = -2x. Jika f'(x) = (2x(x^2+1)-x^2g(x))/(x^2+1)^2, maka 2x = 2x(x^2+1) - x^2g(x). 2x = 2x^3 + 2x - x^2g(x). Maka, x^2g(x) = 2x^3, sehingga g(x) = 2x. Berdasarkan penulisan soal, yaitu f'(x)=(2x(x^2+1)+x^2g(x))/(x^2+1)^2, maka g(x) = -2x.