Hitunglah nilai a dan b, jika diketahui: (ax^3-5x^2+b)

a = 20/21, b = 125/21

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan teorema sisa. Jika sebuah polinomial $P(x)$ habis dibagi oleh $(x-a)$ dan $(x-b)$, maka $P(a)=0$ dan $P(b)=0$. Polinomial yang diberikan adalah $P(x) = ax^3 - 5x^2 + b$. Polinomial ini habis dibagi oleh $x^2 - 4x - 5$. Pertama, kita faktorkan pembaginya: $x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1)$.

Karena polinomial habis dibagi oleh $(x-5)$, maka $P(5) = 0$: $a(5)^3 - 5(5)^2 + b = 0 
 125a - 125 + b = 0 
 125a + b = 125$ (Persamaan 1)

Karena polinomial habis dibagi oleh $(x+1)$, maka $P(-1) = 0$: $a(-1)^3 - 5(-1)^2 + b = 0 
 -a - 5 + b = 0 
 -a + b = 5$ (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel:
1) $125a + b = 125$
2) $-a + b = 5$

Kita bisa mengurangi Persamaan 2 dari Persamaan 1:
$(125a + b) - (-a + b) = 125 - 5$
$125a + b + a - b = 120$
$126a = 120$
$a = 120 / 126$
$a = 20 / 21$

Substitusikan nilai $a$ ke Persamaan 2:
$-(20/21) + b = 5$
$b = 5 + 20/21$
$b = (105/21) + (20/21)$
$b = 125/21$

Jadi, nilai $a = 20/21$ dan $b = 125/21$.