Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi hubungan

x+11

Pembahasan

Diketahui hubungan f(x+5) = g(2x-1).
Kita ingin mencari 2f^(-1)(x).
Langkah pertama adalah mencari invers dari fungsi f.
Misalkan y = f(x+5).
Maka x+5 = f^(-1)(y).
Sehingga x = f^(-1)(y) - 5.

Selanjutnya, kita juga perlu mencari invers dari fungsi g.
Misalkan z = g(2x-1).
Maka 2x-1 = g^(-1)(z).
Sehingga x = (g^(-1)(z) + 1) / 2.

Karena f(x+5) = g(2x-1), maka kita dapat menyamakan kedua bentuk invers tersebut.
Substitusikan x dari persamaan pertama ke persamaan kedua:
f^(-1)(y) - 5 = (g^(-1)(z) + 1) / 2.

Kita ingin mencari 2f^(-1)(x). Dari hubungan awal f(x+5) = g(2x-1), kita bisa mendapatkan hubungan antar invers.
Jika kita misalkan y = 2x-1, maka x = (y+1)/2.
Maka f((y+1)/2 + 5) = g(y).
Ini belum membantu secara langsung.

Mari kita coba dari f(x+5) = g(2x-1).
Ambil invers dari kedua sisi:
f^(-1)(g(2x-1)) = x+5.

Sekarang, mari kita cari invers dari g.
Misalkan u = 2x-1, maka x = (u+1)/2.
Jadi, g^(-1)(u) = 2x-1 = 2((u+1)/2) - 1 = u+1-1 = u.
Jadi, g^(-1)(u) = u. Ini berarti g adalah fungsi identitas (g(x)=x).

Jika g(x) = x, maka f(x+5) = 2x-1.
Untuk mencari f(x), kita substitusikan x dengan x-5:
f(x) = 2(x-5) - 1 = 2x - 10 - 1 = 2x - 11.

Sekarang cari invers dari f(x) = 2x - 11.
Misalkan y = 2x - 11.
y + 11 = 2x
x = (y+11)/2.
Jadi, f^(-1)(y) = (y+11)/2.
Atau f^(-1)(x) = (x+11)/2.

Yang ditanya adalah 2f^(-1)(x).
2f^(-1)(x) = 2 * (x+11)/2 = x+11.