Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Titik

5*sqrt(2)/2 cm

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Titik P dan Q berturut turut merupakan titik tengah dari rusuk AB dan BC.

P adalah titik tengah AB, maka AP = PB = 10/2 = 5 cm.
Q adalah titik tengah BC, maka BQ = QC = 10/2 = 5 cm.

Kita perlu mencari jarak garis PQ ke diagonal EG.

1. Tentukan koordinat titik-titik:
Misalkan A = (0,0,0)
B = (10,0,0)
C = (10,10,0)
D = (0,10,0)
E = (0,0,10)
F = (10,0,10)
G = (10,10,10)
H = (0,10,10)

P adalah titik tengah AB, maka P = ( (0+10)/2, (0+0)/2, (0+0)/2 ) = (5,0,0)
Q adalah titik tengah BC, maka Q = ( (10+10)/2, (0+10)/2, (0+0)/2 ) = (10,5,0)

2. Tentukan vektor PQ:
PQ = Q - P = (10-5, 5-0, 0-0) = (5, 5, 0)

3. Tentukan vektor EG:
EG = G - E = (10-0, 10-0, 10-0) = (10, 10, 10)

4. Cari jarak garis PQ ke EG.
Garis PQ terletak pada bidang ABCD (z=0). Garis EG adalah diagonal ruang kubus.
Kita dapat menggunakan rumus jarak antara dua garis skew (garis yang tidak sejajar dan tidak berpotongan). Namun, dalam kasus ini, kita bisa menggunakan pendekatan yang lebih sederhana dengan mencari jarak dari titik P ke garis EG atau jarak dari titik Q ke garis EG, atau dengan mencari jarak antara proyeksi kedua garis tersebut.

Alternatif lain: Jarak antara garis PQ dan EG adalah jarak antara bidang yang memuat PQ dan sejajar EG, dengan garis EG itu sendiri. Atau, kita bisa mencari jarak antara titik P dan Q ke garis EG.

Karena PQ sejajar dengan bidang EFGH yang memuat EG, jarak antara garis PQ dan EG sama dengan jarak antara titik P (atau Q) ke bidang EFGH dikurangi jarak antara proyeksi PQ ke bidang EFGH dengan EG.

Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan melihat proyeksi PQ pada bidang yang tegak lurus EG.

Sebuah vektor normal terhadap bidang yang memuat PQ dan sejajar EG dapat dicari. Namun, kita bisa menyederhanakan masalah ini.

Perhatikan segitiga siku-siku di bidang alas, yaitu segitiga PBQ. PB = 5, BQ = 5. Maka PQ = sqrt(5^2 + 5^2) = sqrt(50) = 5*sqrt(2).

Sekarang perhatikan bidang EFGH. Diagonal EG memiliki panjang 10*sqrt(2).

Jarak antara garis PQ dan EG sama dengan jarak antara titik P dan garis EG. Atau jarak antara titik Q dan garis EG.

Mari kita hitung jarak dari titik P ke garis EG. Garis EG melalui titik E(0,0,10) dan G(10,10,10). Vektor arah EG = (10,10,10). Vektor EP = P - E = (5,0,0) - (0,0,10) = (5,0,-10).

Jarak = |EP x EG| / |EG|
EP x EG = 
|  i   j   k  |
|  5   0  -10 |
| 10  10  10 |
= i(0 - (-100)) - j(50 - (-100)) + k(50 - 0)
= 100i - 150j + 50k = (100, -150, 50)

|EP x EG| = sqrt(100^2 + (-150)^2 + 50^2)
= sqrt(10000 + 22500 + 2500)
= sqrt(35000) = sqrt(2500 * 14) = 50*sqrt(14)

|EG| = sqrt(10^2 + 10^2 + 10^2) = sqrt(300) = 10*sqrt(3)

Jarak = (50*sqrt(14)) / (10*sqrt(3)) = 5*sqrt(14)/sqrt(3) = 5*sqrt(42)/3

Pendekatan lain:
Jarak PQ ke EG sama dengan jarak antara garis PQ dan garis yang sejajar EG dan melalui pusat kubus. Atau, jarak antara titik tengah PQ ke EG.

Titik tengah PQ = ( (5+10)/2, (0+5)/2, (0+0)/2 ) = (7.5, 2.5, 0).

Cara paling mudah:
Perhatikan bidang BCFG. PQ sejajar BC, EG sejajar BC. PQ sejajar EG.
Sebenarnya PQ tidak sejajar EG. PQ berada di bidang ABCD, EG berada di bidang EFGH.

Jarak PQ ke EG adalah jarak antara bidang ABCD dan EFGH dikurangi jarak proyeksi PQ ke bidang EFGH yang tegak lurus EG.

Mari kita gunakan konsep jarak antara dua garis skew.
Garis 1: PQ. Titik P(5,0,0), vektor arah PQ = (5,5,0).
Garis 2: EG. Titik E(0,0,10), vektor arah EG = (10,10,10).

VE = E - P = (0-5, 0-0, 10-0) = (-5, 0, 10).

Jarak = |VE . (PQ x EG)| / |PQ x EG|
PQ x EG = 
|  i   j   k  |
|  5   5   0  |
| 10  10  10 |
= i(50 - 0) - j(50 - 0) + k(50 - 50)
= 50i - 50j + 0k = (50, -50, 0)

|PQ x EG| = sqrt(50^2 + (-50)^2 + 0^2) = sqrt(2500 + 2500) = sqrt(5000) = 50*sqrt(2).

VE . (PQ x EG) = (-5, 0, 10) . (50, -50, 0)
= (-5 * 50) + (0 * -50) + (10 * 0)
= -250 + 0 + 0 = -250

Jarak = |-250| / (50*sqrt(2))
Jarak = 250 / (50*sqrt(2))
Jarak = 5 / sqrt(2)
Jarak = 5*sqrt(2) / 2

Jadi, jarak garis PQ ke EG adalah 5*sqrt(2)/2 cm.