Jika K C L, L C M, dan K' komplemen K, maka (M- L) U (L -

M - K

Pembahasan

Diketahui:
K ⊆ L
L ⊆ M
K' adalah komplemen K.

Kita perlu mencari bentuk sederhana dari (M - L) ∪ (L - K).

Mari kita analisis setiap bagian:
1. M - L: Ini adalah himpunan semua elemen yang ada di M tetapi tidak ada di L.
2. L - K: Ini adalah himpunan semua elemen yang ada di L tetapi tidak ada di K.

Karena K ⊆ L, maka L - K adalah himpunan elemen yang ada di L tetapi tidak di K. Ini adalah komplemen L relatif terhadap K, atau bisa ditulis sebagai L ∩ K'.

Karena L ⊆ M, maka setiap elemen di L juga ada di M. Ini berarti M - L adalah himpunan elemen yang ada di M tetapi tidak ada di L.

Kita ingin mencari (M - L) ∪ (L - K).

Dengan menggunakan sifat-sifat himpunan:
(M - L) ∪ (L - K) = (M ∩ L') ∪ (L ∩ K')

Karena L ⊆ M, maka M ∩ L' adalah himpunan elemen yang ada di M tetapi tidak di L.
Karena K ⊆ L, maka L ∩ K' adalah himpunan elemen yang ada di L tetapi tidak di K.

Perhatikan bahwa (L - K) adalah bagian dari L. Jika L ⊆ M, maka (L - K) juga merupakan bagian dari M.

Jadi, kita memiliki:
(M - L) ∪ (L - K) = himpunan elemen di M tapi tidak di L, digabung dengan himpunan elemen di L tapi tidak di K.

Ini setara dengan himpunan elemen yang ada di M tetapi tidak di K, kecuali elemen yang ada di L tetapi tidak di K. Atau lebih tepatnya, ini adalah gabungan dari elemen-elemen yang hanya ada di M (tidak di L) dan elemen-elemen yang hanya ada di L (tidak di K).

Jika kita melihat diagram Venn, daerah yang diarsir adalah M saja (di luar L) dan L saja (di luar K).

Ini adalah definisi dari selisih simetris antara M dan K, tetapi dengan pembatasan bahwa L berada di antara K dan M. Namun, operasi yang diberikan adalah gabungan dari dua selisih.

Mari kita pertimbangkan sebuah contoh:
Misalkan K = {1}, L = {1, 2}, M = {1, 2, 3}.
K ⊆ L dan L ⊆ M terpenuhi.
K' = {2, 3} (jika semesta pembicaraan adalah {1, 2, 3})

M - L = {1, 2, 3} - {1, 2} = {3}
L - K = {1, 2} - {1} = {2}

(M - L) ∪ (L - K) = {3} ∪ {2} = {2, 3}.

Sekarang mari kita lihat beberapa opsi yang mungkin:

Jika opsi tersebut adalah M - K:
M - K = {1, 2, 3} - {1} = {2, 3}. Ini cocok.

Mari kita buktikan bahwa (M - L) ∪ (L - K) = M - K, dengan syarat K ⊆ L ⊆ M.

Ambil sebarang elemen x ∈ (M - L) ∪ (L - K).
Maka x ∈ (M - L) atau x ∈ (L - K).
Kasus 1: x ∈ (M - L).
Ini berarti x ∈ M dan x ∉ L. Karena L ⊆ M, jika x ∉ L, maka x pasti bukan anggota M jika x hanya ada di L. Namun, x ∈ M sudah terpenuhi. Karena x ∉ L dan x ∈ M, maka x pasti bukan anggota K (karena jika x ∈ K, maka x ∈ L, yang bertentangan dengan x ∉ L). Jadi, x ∈ M dan x ∉ K, yang berarti x ∈ M - K.

Kasus 2: x ∈ (L - K).
Ini berarti x ∈ L dan x ∉ K. Karena L ⊆ M, maka setiap elemen di L juga ada di M. Jadi, x ∈ M. Karena x ∉ K, maka x ∈ M dan x ∉ K, yang berarti x ∈ M - K.

Karena dalam kedua kasus x ∈ M - K, maka (M - L) ∪ (L - K) ⊆ M - K.

Sekarang ambil sebarang elemen y ∈ M - K.
Maka y ∈ M dan y ∉ K.
Kita tahu bahwa L ⊆ M dan K ⊆ L.
Karena y ∈ M dan y ∉ K, ada dua kemungkinan:
   a) y ∈ L dan y ∉ K (ini berarti y ∈ L - K).
   b) y ∉ L (ini berarti y ∈ M - L).

Dalam kedua kemungkinan tersebut, y ∈ (M - L) ∪ (L - K).

Karena sebarang elemen dari M - K juga merupakan elemen dari (M - L) ∪ (L - K), maka M - K ⊆ (M - L) ∪ (L - K).

Dari kedua inklusi tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa (M - L) ∪ (L - K) = M - K.

Jawaban: M - K