Kelas 11Kelas 10mathMatematika Dasar
Jika K C L, L C M, dan K' komplemen K, maka (M- L) U (L -
Pertanyaan
Jika K C L, L C M, dan K' komplemen K, maka (M- L) U (L - K) sama dengan?
Solusi
Verified
M - K
Pembahasan
Diketahui: K ⊆ L L ⊆ M K' adalah komplemen K. Kita perlu mencari bentuk sederhana dari (M - L) ∪ (L - K). Mari kita analisis setiap bagian: 1. M - L: Ini adalah himpunan semua elemen yang ada di M tetapi tidak ada di L. 2. L - K: Ini adalah himpunan semua elemen yang ada di L tetapi tidak ada di K. Karena K ⊆ L, maka L - K adalah himpunan elemen yang ada di L tetapi tidak di K. Ini adalah komplemen L relatif terhadap K, atau bisa ditulis sebagai L ∩ K'. Karena L ⊆ M, maka setiap elemen di L juga ada di M. Ini berarti M - L adalah himpunan elemen yang ada di M tetapi tidak ada di L. Kita ingin mencari (M - L) ∪ (L - K). Dengan menggunakan sifat-sifat himpunan: (M - L) ∪ (L - K) = (M ∩ L') ∪ (L ∩ K') Karena L ⊆ M, maka M ∩ L' adalah himpunan elemen yang ada di M tetapi tidak di L. Karena K ⊆ L, maka L ∩ K' adalah himpunan elemen yang ada di L tetapi tidak di K. Perhatikan bahwa (L - K) adalah bagian dari L. Jika L ⊆ M, maka (L - K) juga merupakan bagian dari M. Jadi, kita memiliki: (M - L) ∪ (L - K) = himpunan elemen di M tapi tidak di L, digabung dengan himpunan elemen di L tapi tidak di K. Ini setara dengan himpunan elemen yang ada di M tetapi tidak di K, kecuali elemen yang ada di L tetapi tidak di K. Atau lebih tepatnya, ini adalah gabungan dari elemen-elemen yang hanya ada di M (tidak di L) dan elemen-elemen yang hanya ada di L (tidak di K). Jika kita melihat diagram Venn, daerah yang diarsir adalah M saja (di luar L) dan L saja (di luar K). Ini adalah definisi dari selisih simetris antara M dan K, tetapi dengan pembatasan bahwa L berada di antara K dan M. Namun, operasi yang diberikan adalah gabungan dari dua selisih. Mari kita pertimbangkan sebuah contoh: Misalkan K = {1}, L = {1, 2}, M = {1, 2, 3}. K ⊆ L dan L ⊆ M terpenuhi. K' = {2, 3} (jika semesta pembicaraan adalah {1, 2, 3}) M - L = {1, 2, 3} - {1, 2} = {3} L - K = {1, 2} - {1} = {2} (M - L) ∪ (L - K) = {3} ∪ {2} = {2, 3}. Sekarang mari kita lihat beberapa opsi yang mungkin: Jika opsi tersebut adalah M - K: M - K = {1, 2, 3} - {1} = {2, 3}. Ini cocok. Mari kita buktikan bahwa (M - L) ∪ (L - K) = M - K, dengan syarat K ⊆ L ⊆ M. Ambil sebarang elemen x ∈ (M - L) ∪ (L - K). Maka x ∈ (M - L) atau x ∈ (L - K). Kasus 1: x ∈ (M - L). Ini berarti x ∈ M dan x ∉ L. Karena L ⊆ M, jika x ∉ L, maka x pasti bukan anggota M jika x hanya ada di L. Namun, x ∈ M sudah terpenuhi. Karena x ∉ L dan x ∈ M, maka x pasti bukan anggota K (karena jika x ∈ K, maka x ∈ L, yang bertentangan dengan x ∉ L). Jadi, x ∈ M dan x ∉ K, yang berarti x ∈ M - K. Kasus 2: x ∈ (L - K). Ini berarti x ∈ L dan x ∉ K. Karena L ⊆ M, maka setiap elemen di L juga ada di M. Jadi, x ∈ M. Karena x ∉ K, maka x ∈ M dan x ∉ K, yang berarti x ∈ M - K. Karena dalam kedua kasus x ∈ M - K, maka (M - L) ∪ (L - K) ⊆ M - K. Sekarang ambil sebarang elemen y ∈ M - K. Maka y ∈ M dan y ∉ K. Kita tahu bahwa L ⊆ M dan K ⊆ L. Karena y ∈ M dan y ∉ K, ada dua kemungkinan: a) y ∈ L dan y ∉ K (ini berarti y ∈ L - K). b) y ∉ L (ini berarti y ∈ M - L). Dalam kedua kemungkinan tersebut, y ∈ (M - L) ∪ (L - K). Karena sebarang elemen dari M - K juga merupakan elemen dari (M - L) ∪ (L - K), maka M - K ⊆ (M - L) ∪ (L - K). Dari kedua inklusi tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa (M - L) ∪ (L - K) = M - K. Jawaban: M - K
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Teori Himpunan
Section: Operasi Himpunan
Apakah jawaban ini membantu?