Jika k =(sec x+1)/(tan x) buktikan bahwa 1/k=(sec x-1)/(tan

Bukti: k = (sec x + 1)/(tan x) => 1/k = (tan x)/(sec x + 1) = (sin x/cos x)/((1/cos x) + 1) = sin x / (1 + cos x). (sec x - 1)/(tan x) = ((1/cos x) - 1)/(sin x/cos x) = (1 - cos x)/sin x. Karena sin x / (1 + cos x) = (1 - cos x)/sin x <=> sin^2 x = 1 - cos^2 x, maka terbukti. Nilai dalam k: sec x = (1 + k^2)/(k^2 - 1), tan x = 2k/(k^2 - 1), sin x = 2k/(1 + k^2).

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri tersebut, kita perlu memanipulasi salah satu sisi hingga menyerupai sisi lainnya.

Dimulai dari sisi kiri:
k = (sec x + 1) / (tan x)
Kita tahu bahwa sec x = 1/cos x dan tan x = sin x/cos x.
Jadi, k = ((1/cos x) + 1) / (sin x/cos x)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan cos x:
k = (1 + cos x) / sin x

Sekarang, mari kita manipulasi sisi kanan:
(sec x - 1) / (tan x) = ((1/cos x) - 1) / (sin x/cos x)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan cos x:
(1 - cos x) / sin x

Untuk membuktikan bahwa 1/k = (sec x - 1)/(tan x), mari kita cari 1/k:
1/k = sin x / (1 + cos x)

Sekarang kita perlu membuktikan bahwa sin x / (1 + cos x) = (1 - cos x) / sin x.
Kalikan silang:
sin x * sin x = (1 + cos x) * (1 - cos x)
sin^2 x = 1 - cos^2 x
Ini adalah identitas trigonometri yang benar (sin^2 x + cos^2 x = 1).

Oleh karena itu, terbukti bahwa 1/k = (sec x - 1)/(tan x).

Selanjutnya, kita akan menentukan nilai sec x, tan x, dan sin x dalam k.
Dari k = (1 + cos x) / sin x:
k * sin x = 1 + cos x
cos x = k * sin x - 1

Kita tahu bahwa sin^2 x + cos^2 x = 1.
Substitusikan nilai cos x:
sin^2 x + (k * sin x - 1)^2 = 1
sin^2 x + (k^2 * sin^2 x - 2k * sin x + 1) = 1
sin^2 x + k^2 * sin^2 x - 2k * sin x = 0
sin x (sin x + k^2 * sin x - 2k) = 0
Karena sin x tidak mungkin nol dalam konteks ini, maka:
sin x + k^2 * sin x - 2k = 0
sin x (1 + k^2) = 2k
sin x = 2k / (1 + k^2)

Sekarang kita cari cos x:
cos x = k * sin x - 1
cos x = k * (2k / (1 + k^2)) - 1
cos x = (2k^2 / (1 + k^2)) - ((1 + k^2) / (1 + k^2))
cos x = (2k^2 - 1 - k^2) / (1 + k^2)
cos x = (k^2 - 1) / (1 + k^2)

Terakhir, kita cari tan x:
tan x = sin x / cos x
tan x = (2k / (1 + k^2)) / ((k^2 - 1) / (1 + k^2))
tan x = 2k / (k^2 - 1)

Jadi:
sec x = 1/cos x = (1 + k^2) / (k^2 - 1)
tan x = 2k / (k^2 - 1)
sin x = 2k / (1 + k^2)