Kelas 11Kelas 10mathTrigonometri
Jika k =(sec x+1)/(tan x) buktikan bahwa 1/k=(sec x-1)/(tan
Pertanyaan
Jika k =(sec x+1)/(tan x) buktikan bahwa 1/k=(sec x-1)/(tan x). Kemudian, tentukan nilai sec x, tan x, dan sin x dalam k.
Solusi
Verified
Bukti: k = (sec x + 1)/(tan x) => 1/k = (tan x)/(sec x + 1) = (sin x/cos x)/((1/cos x) + 1) = sin x / (1 + cos x). (sec x - 1)/(tan x) = ((1/cos x) - 1)/(sin x/cos x) = (1 - cos x)/sin x. Karena sin x / (1 + cos x) = (1 - cos x)/sin x <=> sin^2 x = 1 - cos^2 x, maka terbukti. Nilai dalam k: sec x = (1 + k^2)/(k^2 - 1), tan x = 2k/(k^2 - 1), sin x = 2k/(1 + k^2).
Pembahasan
Untuk membuktikan identitas trigonometri tersebut, kita perlu memanipulasi salah satu sisi hingga menyerupai sisi lainnya. Dimulai dari sisi kiri: k = (sec x + 1) / (tan x) Kita tahu bahwa sec x = 1/cos x dan tan x = sin x/cos x. Jadi, k = ((1/cos x) + 1) / (sin x/cos x) Kalikan pembilang dan penyebut dengan cos x: k = (1 + cos x) / sin x Sekarang, mari kita manipulasi sisi kanan: (sec x - 1) / (tan x) = ((1/cos x) - 1) / (sin x/cos x) Kalikan pembilang dan penyebut dengan cos x: (1 - cos x) / sin x Untuk membuktikan bahwa 1/k = (sec x - 1)/(tan x), mari kita cari 1/k: 1/k = sin x / (1 + cos x) Sekarang kita perlu membuktikan bahwa sin x / (1 + cos x) = (1 - cos x) / sin x. Kalikan silang: sin x * sin x = (1 + cos x) * (1 - cos x) sin^2 x = 1 - cos^2 x Ini adalah identitas trigonometri yang benar (sin^2 x + cos^2 x = 1). Oleh karena itu, terbukti bahwa 1/k = (sec x - 1)/(tan x). Selanjutnya, kita akan menentukan nilai sec x, tan x, dan sin x dalam k. Dari k = (1 + cos x) / sin x: k * sin x = 1 + cos x cos x = k * sin x - 1 Kita tahu bahwa sin^2 x + cos^2 x = 1. Substitusikan nilai cos x: sin^2 x + (k * sin x - 1)^2 = 1 sin^2 x + (k^2 * sin^2 x - 2k * sin x + 1) = 1 sin^2 x + k^2 * sin^2 x - 2k * sin x = 0 sin x (sin x + k^2 * sin x - 2k) = 0 Karena sin x tidak mungkin nol dalam konteks ini, maka: sin x + k^2 * sin x - 2k = 0 sin x (1 + k^2) = 2k sin x = 2k / (1 + k^2) Sekarang kita cari cos x: cos x = k * sin x - 1 cos x = k * (2k / (1 + k^2)) - 1 cos x = (2k^2 / (1 + k^2)) - ((1 + k^2) / (1 + k^2)) cos x = (2k^2 - 1 - k^2) / (1 + k^2) cos x = (k^2 - 1) / (1 + k^2) Terakhir, kita cari tan x: tan x = sin x / cos x tan x = (2k / (1 + k^2)) / ((k^2 - 1) / (1 + k^2)) tan x = 2k / (k^2 - 1) Jadi: sec x = 1/cos x = (1 + k^2) / (k^2 - 1) tan x = 2k / (k^2 - 1) sin x = 2k / (1 + k^2)
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Identitas Trigonometri
Section: Pembuktian Identitas, Ekspresi Dalam Variabel Lain
Apakah jawaban ini membantu?