Jika lim t->a (|t|-1)^2-(|a|-1)^2/t^2-a^2=K, maka lim t->a

4(a-1)^3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar karena bentuknya adalah 0/0.

Misalkan f(t) = (|t|-1)^2 dan g(t) = t^2.
Karena lim t->a (|t|-1)^2-(|a|-1)^2/t^2-a^2=K, kita bisa menerapkan aturan L'Hopital pada ekspresi tersebut.

Turunan dari (|t|-1)^2 adalah 2(|t|-1) * (t/|t|).
Turunan dari t^2 adalah 2t.

Maka, K = lim t->a [2(|t|-1) * (t/|t|)] / 2t = lim t->a [(|t|-1) * (t/|t|)] / t
Jika a > 0, maka |a| = a dan |t| = t untuk t mendekati a.
K = lim t->a [(t-1) * (t/t)] / t = lim t->a (t-1) / t = (a-1) / a.

Sekarang kita perlu menghitung lim t->a (|t|-1)^4-(|a|-1)^4/t-a.
Ini juga merupakan bentuk 0/0 jika (|a|-1)^4 = (|a|-1)^4.
Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital lagi atau definisi turunan.

Misalkan h(t) = (|t|-1)^4. Maka limitnya adalah h'(a).

Jika a > 0, h(t) = (t-1)^4.
h'(t) = 4(t-1)^3.
h'(a) = 4(a-1)^3.

Jadi, limitnya adalah 4(a-1)^3.