Misalkan sudut pada segitiga ABC adalah A, B, C. Jika sin

1/3

Pembahasan

Untuk mencari nilai tan B/2 tan C/2, kita dapat menggunakan identitas trigonometri. Diketahui sin B + sin C = 2 sin A.
Menggunakan identitas penjumlahan sinus: 2 sin((B+C)/2) cos((B-C)/2) = 2 sin A.
Karena A + B + C = 180 derajat, maka (B+C)/2 = 90 - A/2. Sehingga sin((B+C)/2) = sin(90 - A/2) = cos(A/2).
Persamaan menjadi: 2 cos(A/2) cos((B-C)/2) = 2 sin A.
Menggunakan identitas sin A = 2 sin(A/2) cos(A/2), maka: 2 cos(A/2) cos((B-C)/2) = 2 * 2 sin(A/2) cos(A/2).
Membagi kedua sisi dengan 2 cos(A/2) (dengan asumsi cos(A/2) tidak sama dengan nol), kita peroleh: cos((B-C)/2) = 2 sin(A/2).

Namun, mari kita coba pendekatan lain yang lebih langsung terkait dengan tan B/2 tan C/2.
Dari sin B + sin C = 2 sin A, kita bisa gunakan aturan sinus: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, di mana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga.
Maka sin B = b/2R, sin C = c/2R, dan sin A = a/2R.
Substitusi ke persamaan: b/2R + c/2R = 2 (a/2R).
(b+c)/2R = a/R.
b+c = 2a.

Sekarang, mari kita lihat ekspresi yang ingin kita cari: tan B/2 tan C/2.
Kita tahu bahwa tan(x/2) = sin x / (1 + cos x) atau tan(x/2) = (1 - cos x) / sin x.
Juga, tan(B/2) tan(C/2) = [sin(B/2)/cos(B/2)] * [sin(C/2)/cos(C/2)] = sin(B/2)sin(C/2) / cos(B/2)cos(C/2).
Menggunakan identitas: sin(B/2)sin(C/2) = 1/2 [cos((B-C)/2) - cos((B+C)/2)]
Dan cos(B/2)cos(C/2) = 1/2 [cos((B-C)/2) + cos((B+C)/2)]
Karena (B+C)/2 = 90 - A/2, maka cos((B+C)/2) = cos(90 - A/2) = sin(A/2).
Jadi, tan B/2 tan C/2 = [cos((B-C)/2) - sin(A/2)] / [cos((B-C)/2) + sin(A/2)].

Mari kita kembali ke b+c = 2a. Ini adalah kondisi yang terkait dengan segitiga.

Ada identitas yang menyatakan bahwa jika sin B + sin C = 2 sin A, maka b+c = 2a.
Dalam segitiga, kita juga memiliki rumus tangen setengah sudut:
tan(B/2) = sqrt((s-a)(s-c)/s(s-b))
tan(C/2) = sqrt((s-a)(s-b)/s(s-c))

Di mana s adalah setengah keliling segitiga, s = (a+b+c)/2.
Jika b+c = 2a, maka s = (a+2a)/2 = 3a/2.
Substitusi s ke dalam tan(B/2)tan(C/2):
tan B/2 tan C/2 = sqrt[((s-a)(s-c))/(s(s-b))] * sqrt[((s-a)(s-b))/(s(s-c))]
= sqrt[((s-a)^2 * (s-b) * (s-c)) / (s^2 * (s-b) * (s-c))]
= sqrt[(s-a)^2 / s^2]
= (s-a) / s

Substitusi nilai s = 3a/2:
tan B/2 tan C/2 = (3a/2 - a) / (3a/2)
= (a/2) / (3a/2)
= 1/3.

Jadi, nilai dari tan B/2 tan C/2 adalah 1/3.