Jika limit x->2 (a akar(x+7)+b)/(x-2)=3 maka nilai

-18

Pembahasan

Untuk mencari nilai (2a+b) dari limit yang diberikan, kita perlu menggunakan sifat-sifat limit dan L'Hopital's Rule karena bentuk limitnya adalah 0/0.

Limit: lim (x->2) [a√(x+7) + b] / (x-2) = 3

Ketika x mendekati 2, penyebut (x-2) mendekati 0. Agar limit ini memiliki nilai yang terhingga (yaitu 3), pembilang juga harus mendekati 0 ketika x mendekati 2.

Substitusikan x=2 ke pembilang:
a√(2+7) + b = 0
a√9 + b = 0
3a + b = 0
b = -3a

Sekarang kita substitusikan b = -3a ke dalam ekspresi limit:
lim (x->2) [a√(x+7) - 3a] / (x-2)
lim (x->2) [a(√(x+7) - 3)] / (x-2)

Karena substitusi x=2 masih menghasilkan bentuk 0/0 (a(√9 - 3) / 0 = a(3-3)/0 = 0/0), kita bisa menggunakan L'Hopital's Rule. L'Hopital's Rule menyatakan bahwa jika lim f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim f'(x)/g'(x).

Turunkan pembilang terhadap x: a(√(x+7) - 3)
Turunan dari √(x+7) adalah (1/2√(x+7)) * 1 = 1/(2√(x+7)).
Turunan dari -3 adalah 0.
Jadi, turunan pembilang adalah a * [1/(2√(x+7))].

Turunkan penyebut terhadap x: x-2
Turunan dari x-2 adalah 1.

Sekarang terapkan L'Hopital's Rule:
lim (x->2) [a / (2√(x+7))] / 1 = 3

Substitusikan x=2 ke dalam ekspresi yang baru:
a / (2√(2+7)) = 3
a / (2√9) = 3
a / (2 * 3) = 3
a / 6 = 3
a = 3 * 6
a = 18

Sekarang kita dapat mencari nilai b menggunakan hubungan b = -3a:
b = -3 * 18
b = -54

Terakhir, kita hitung nilai (2a + b):
2a + b = 2(18) + (-54)
2a + b = 36 - 54
2a + b = -18

Jadi, nilai (2a+b) adalah -18.