Jika M=A^3 dan A=(akar(3)/2 1/2 1/2 akar(3)/2), maka M(2

M(2 1) adalah vektor ( (6*sqrt(3) + 5)/4 , (10 + 3*sqrt(3))/4 ).

Pembahasan

Soal ini melibatkan operasi matriks, khususnya perpangkatan matriks dan perkalian matriks.

Diketahui matriks A = $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

Kita perlu mencari M = A^3.
Pertama, mari kita cari A^2:
$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

Elemen baris 1, kolom 1 dari A^2:
$(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Elemen baris 1, kolom 2 dari A^2:
$(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Elemen baris 2, kolom 1 dari A^2:
$(\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Elemen baris 2, kolom 2 dari A^2:
$(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Jadi, $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{pmatrix}$

Sekarang, kita cari M = A^3 = A^2 * A:
$M = \begin{pmatrix} 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

Elemen baris 1, kolom 1 dari M:
$(1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Elemen baris 1, kolom 2 dari M:
$(1)(\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4}$

Elemen baris 2, kolom 1 dari M:
$(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (1)(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3+2}{4} = \frac{5}{4}$

Elemen baris 2, kolom 2 dari M:
$(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) + (1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Jadi, $M = \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{3}}{4} & \frac{5}{4} \\ \frac{5}{4} & \frac{3\sqrt{3}}{4} \end{pmatrix}$

Sekarang kita perlu menghitung M * (2, 1). Ini tampaknya merujuk pada perkalian matriks M dengan vektor kolom $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

M(2, 1) = $M \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{3}}{4} & \frac{5}{4} \\ \frac{5}{4} & \frac{3\sqrt{3}}{4} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Elemen baris 1 dari hasil:
$(\frac{3\sqrt{3}}{4})(2) + (\frac{5}{4})(1) = \frac{6\sqrt{3}}{4} + \frac{5}{4} = \frac{6\sqrt{3} + 5}{4}$

Elemen baris 2 dari hasil:
$(\frac{5}{4})(2) + (\frac{3\sqrt{3}}{4})(1) = \frac{10}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{10 + 3\sqrt{3}}{4}$

Jadi, $M(2,1) = \begin{pmatrix} \frac{6\sqrt{3} + 5}{4} \\ \frac{10 + 3\sqrt{3}}{4} \end{pmatrix}$

Perlu dicatat bahwa notasi M(2 1) bisa ambigu. Jika itu berarti elemen pada baris 2 kolom 1 dari M, maka jawabannya adalah 5/4. Namun, konteks soal 'M(2 1)=...' menyiratkan operasi perkalian dengan vektor (2, 1). Asumsi yang digunakan di atas adalah perkalian matriks dengan vektor kolom.