Jika nilai log2=a dan log3=b, nilai 24log360 adalah....

Nilai 24log360 adalah (2a + 2b + 1) / (3a + b).

Pembahasan

Kita diberikan informasi bahwa log2 = a dan log3 = b. Kita perlu mencari nilai dari 24log360.

Pertama, kita ubah basis logaritma menjadi basis 10 (atau basis lain yang umum, misalnya basis 2 atau 3, tetapi basis 10 lebih umum jika tidak ditentukan).
Rumus perubahan basis logaritma: log_c(x) = log_d(x) / log_d(c).
Di sini, kita ingin menghitung 24log360, yang berarti log_24(360).
Menggunakan rumus perubahan basis ke basis 10 (misalnya):
24log360 = log(360) / log(24)

Sekarang kita uraikan argumen logaritma menjadi faktor-faktor prima yang melibatkan 2 dan 3:
360 = 36 * 10 = (6^2) * (2 * 5) = (2 * 3)^2 * 2 * 5 = 2^2 * 3^2 * 2 * 5 = 2^3 * 3^2 * 5
24 = 8 * 3 = 2^3 * 3

Jadi, log(360) = log(2^3 * 3^2 * 5) = log(2^3) + log(3^2) + log(5)
log(360) = 3*log(2) + 2*log(3) + log(5)

Dan log(24) = log(2^3 * 3) = log(2^3) + log(3)
log(24) = 3*log(2) + log(3)

Kita tahu log(2) = a dan log(3) = b. Kita perlu mengekspresikan log(5) dalam bentuk a dan b. Kita tahu bahwa log(10) = 1, dan 10 = 2 * 5.
Jadi, log(10) = log(2 * 5) = log(2) + log(5)
1 = log(2) + log(5)
1 = a + log(5)
log(5) = 1 - a

Sekarang substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi 24log360:
log(360) = 3*a + 2*b + (1 - a) = 2*a + 2*b + 1
log(24) = 3*a + b

Maka, 24log360 = log(360) / log(24) = (2*a + 2*b + 1) / (3*a + b)

Jika kita menggunakan basis 2:
24log360 = log2(360) / log2(24)
log2(360) = log2(2^3 * 3^2 * 5) = log2(2^3) + log2(3^2) + log2(5) = 3 + 2*log2(3) + log2(5)
log2(24) = log2(2^3 * 3) = log2(2^3) + log2(3) = 3 + log2(3)

Kita tahu log2(2) = 1 dan log2(3) = b. Maka log2(5) = log2(10/2) = log2(10) - log2(2). Ini juga tidak membantu tanpa log2(10).

Mari kita gunakan hubungan logaritma yang diberikan: log2 = a dan log3 = b. Ini menyiratkan bahwa kita bekerja dengan logaritma natural atau logaritma basis 10.
Jika log merujuk pada logaritma natural (ln):
ln(2) = a, ln(3) = b.
ln(360) = ln(2^3 * 3^2 * 5) = 3*ln(2) + 2*ln(3) + ln(5) = 3a + 2b + ln(5)
ln(24) = ln(2^3 * 3) = 3*ln(2) + ln(3) = 3a + b
ln(5) = ln(10/2) = ln(10) - ln(2) = ln(10) - a. Jika log basis 10, ln(10) tidak sama dengan 1.

Jika log merujuk pada logaritma basis 10 (log10):
log10(2) = a, log10(3) = b.
log10(360) = log10(2^3 * 3^2 * 5) = 3*log10(2) + 2*log10(3) + log10(5) = 3a + 2b + log10(5)
log10(24) = log10(2^3 * 3) = 3*log10(2) + log10(3) = 3a + b
log10(5) = log10(10/2) = log10(10) - log10(2) = 1 - a.

Maka, 24log360 = log10(360) / log10(24) = (3a + 2b + (1 - a)) / (3a + b) = (2a + 2b + 1) / (3a + b).

Jadi, nilai 24log360 adalah (2a + 2b + 1) / (3a + b).