Jika nilai minimun dari g(x)= (9x^2sin^2 x+4)/(x sin x),

15

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi g(x) = (9x^2sin^2 x + 4) / (x sin x) untuk 0 < x < pi, kita dapat menyederhanakan fungsi tersebut terlebih dahulu. Misalkan y = x sin x. Maka, fungsi menjadi g(y) = (9y^2 + 4) / y = 9y + 4/y.

Kita dapat menggunakan ketaksamaan AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean) untuk mencari nilai minimumnya. Ketaksamaan AM-GM menyatakan bahwa untuk bilangan non-negatif, rata-rata aritmetikanya lebih besar dari atau sama dengan rata-rata geometriknya. Dalam kasus ini, kita memiliki 9y dan 4/y.

Menurut AM-GM: (9y + 4/y) / 2 >= sqrt((9y) * (4/y))
(9y + 4/y) / 2 >= sqrt(36)
(9y + 4/y) / 2 >= 6
9y + 4/y >= 12.

Jadi, nilai minimum dari g(x) adalah A = 12.

Sekarang kita perlu mencari banyaknya faktor dari A^2. A^2 = 12^2 = 144.
Untuk mencari banyaknya faktor dari 144, kita perlu faktorisasi prima dari 144.
144 = 12 * 12 = (2^2 * 3) * (2^2 * 3) = 2^4 * 3^2.

Jika sebuah bilangan memiliki faktorisasi prima p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, maka banyaknya faktor adalah (a1+1) * (a2+1) * ... * (ak+1).
Untuk 144 = 2^4 * 3^2, banyaknya faktor adalah (4+1) * (2+1) = 5 * 3 = 15.

Jadi, banyaknya faktor dari A^2 adalah 15.