Jika p=3i-j, q=4i+5j, dan r=2j-6i Tentukan nilai dari: u

Nilai u = -2 dan v = 0. Vektor r adalah kelipatan negatif dari vektor p, artinya r searah dengan p tetapi berlawanan arah.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai u dan v yang mengakibatkan r = up + vq, kita perlu menyusun persamaan vektor:

2j - 6i = u(3i - j) + v(4i + 5j)
2j - 6i = 3ui - uj + 4vi + 5vj
2j - 6i = (3u + 4v)i + (-u + 5v)j

Dengan menyamakan komponen i dan j dari kedua sisi persamaan, kita mendapatkan sistem persamaan linear:

Untuk komponen i: -6 = 3u + 4v
Untuk komponen j: 2 = -u + 5v

Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan metode substitusi atau eliminasi. Mari gunakan metode substitusi:
Dari persamaan kedua, kita dapat menyatakan u dalam bentuk v: u = 5v - 2

Substitusikan nilai u ini ke dalam persamaan pertama:
-6 = 3(5v - 2) + 4v
-6 = 15v - 6 + 4v
-6 = 19v - 6
0 = 19v
v = 0

Sekarang substitusikan nilai v = 0 kembali ke persamaan untuk u:
u = 5(0) - 2
u = -2

Jadi, nilai u = -2 dan v = 0.

Ilustrasi Geometris:
Dalam kasus ini, karena v = 0, vektor r hanya merupakan kelipatan dari vektor p. Artinya, vektor r searah dengan vektor p tetapi berlawanan arah karena u negatif. Anda dapat memvisualisasikannya dengan:
1. Menggambar vektor p dari titik asal (0,0) ke titik (3, -1).
2. Menggambar vektor q dari titik asal (0,0) ke titik (4, 5).
3. Vektor r adalah -2 kali vektor p. Jadi, jika p mengarah ke (3, -1), maka r akan mengarah ke (-6, 2). Anda dapat menggambar vektor r dari titik asal (0,0) ke titik (-6, 2). Anda akan melihat bahwa vektor r terletak pada garis yang sama dengan vektor p, tetapi dua kali lebih panjang dan berlawanan arah.