Jika pada bangun limas segitiga T.PQR, segitiga PQR adalah

Nilai tangen sudut antara bidang TPQ dan bidang PQR adalah 2/3.

Pembahasan

Diketahui limas segitiga T.PQR dengan segitiga PQR adalah sama sisi, TR tegak lurus bidang PQR, TR = 1 cm, dan sudut TQR = 30 derajat. Kita perlu mencari nilai tangen sudut antara bidang TPQ dan bidang PQR.
Karena TR tegak lurus bidang PQR, maka TR tegak lurus PQ. Dalam segitiga TQR, kita dapat menggunakan informasi sudut TQR = 30 derajat dan TR = 1 cm untuk mencari panjang QR.
Tan(30°) = TR / QR
QR = TR / Tan(30°)
QR = 1 cm / (1/√3)
QR = √3 cm.
Karena segitiga PQR adalah sama sisi, maka PQ = QR = PR = √3 cm.
Sekarang kita perlu mencari sudut antara bidang TPQ dan bidang PQR. Sudut ini dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang, yaitu PQ.
Dalam bidang PQR, garis yang tegak lurus PQ dan melalui titik Q adalah QR (karena PQR sama sisi). Namun, untuk membentuk sudut bidang, kita perlu garis yang berasal dari titik yang sama pada garis potong PQ.
Misalkan kita ambil titik Q pada garis potong PQ.
Dalam bidang PQR, garis yang tegak lurus PQ dan melalui Q adalah garis yang tegak lurus QR pada Q jika R adalah titik puncak dan PQ adalah alasnya. Namun, kita tahu PQR adalah sama sisi, jadi semua sudutnya 60 derajat. Jika kita tarik garis dari Q tegak lurus PQ, itu akan berada di bidang PQR.
Mari kita tinjau proyeksi T pada bidang PQR. Karena TR tegak lurus bidang PQR, maka R adalah proyeksi T pada bidang PQR. Jadi, TR adalah tinggi limas.
Bidang TPQ dan bidang PQR berpotongan pada garis PQ.
Kita perlu mencari garis di bidang TPQ yang tegak lurus PQ melalui satu titik pada PQ, dan garis di bidang PQR yang tegak lurus PQ melalui titik yang sama.
Misalkan kita gunakan titik Q.
Di bidang PQR, garis yang tegak lurus PQ adalah QR (karena PQR sama sisi, sudut PQR = 60 derajat, jadi kita perlu garis lain). 
Sebenarnya, sudut antara bidang TPQ dan PQR adalah sudut antara garis QT dan QR jika R adalah proyeksi T pada bidang PQR. Namun, TR tegak lurus bidang PQR, jadi R adalah proyeksi T. Jadi, kita perlu sudut antara QT dan bidang PQR. Proyeksi QT pada bidang PQR adalah QR. Maka sudut antara bidang TPQ dan PQR adalah sudut antara QT dan QR, yaitu sudut TQR.
Dalam segitiga TQR, TR = 1 dan sudut TQR = 30 derajat. Kita perlu mencari tangen sudut antara bidang TPQ dan bidang PQR, yang merupakan sudut TQR.
Tan(TQR) = TR / QR.
Kita sudah menghitung QR = √3 cm.
Tan(TQR) = 1 / √3.
Namun, soal menanyakan tangen sudut antara bidang TPQ dan PQR. Sudut ini adalah sudut antara QT dan QR jika R adalah proyeksi T. Tetapi TR adalah proyeksi T. 
Mari kita perjelas definisi sudut antara dua bidang. Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis yang tegak lurus pada garis potong kedua bidang, dan kedua garis tersebut terletak pada bidang yang berbeda dan berpotongan pada satu titik pada garis potong.
Garis potong kedua bidang adalah PQ.
Dalam bidang PQR, garis yang tegak lurus PQ melalui R adalah garis yang kita butuhkan. Karena PQR sama sisi, kita perlu menarik garis dari titik tengah PQ ke R. Misalkan M adalah titik tengah PQ. Maka RM tegak lurus PQ.
Di bidang TPQ, kita perlu garis yang tegak lurus PQ melalui M. Karena TR tegak lurus bidang PQR, maka TR tegak lurus PQ. Segitiga TPQ adalah segitiga sama kaki jika TP = TQ. Kita perlu mengeceknya.
Dalam segitiga TQR, TR = 1, sudut TQR = 30. QR = √3. TR^2 + QR^2 = 1^2 + (√3)^2 = 1 + 3 = 4. Maka TQ = √4 = 2.
Dalam segitiga TPR, TR = 1, PR = √3. Maka TP = √{TR^2 + PR^2} = √{1^2 + (√3)^2} = √{1+3} = √4 = 2.
Jadi, TP = TQ = 2. Segitiga TPQ adalah segitiga sama kaki.
Misalkan M adalah titik tengah PQ. Maka TM tegak lurus PQ.
Sekarang kita punya RM tegak lurus PQ dan TM tegak lurus PQ. Sudut antara bidang TPQ dan PQR adalah sudut RMQ atau sudut RMT.
Kita perlu sudut antara TM dan RM, yaitu sudut TMR.
Dalam segitiga TMR, TR = 1, RM adalah tinggi segitiga sama kaki TQR dari R ke PQ. Bukan, RM adalah garis dari R ke titik tengah PQ. RM adalah tinggi segitiga sama sisi PQR.
Dalam segitiga sama sisi PQR dengan sisi √3, tinggi RM = (√3/2) * sisi = (√3/2) * √3 = 3/2.
Sekarang kita punya segitiga TMR siku-siku di R (karena TR tegak lurus bidang PQR).
Tan(sudut TMR) = TR / RM.
Tan(sudut TMR) = 1 / (3/2).
Tan(sudut TMR) = 2/3.