Jika pada segitiga siku-siku ABC panjang AC=x, sudut ACB=90

Jumlah deret tersebut adalah $\frac{4x(4 + \sqrt{3})}{13}$.

Pembahasan

Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di C dengan $\angle BAC = 60^{\circ}$ dan $\angle ACB = 90^{\circ}$. Maka $\angle ABC = 30^{\circ}$.
Diketahui AC = x.
Dalam segitiga ABC:
$AC = AB \cos(60^{\circ}) \implies x = AB \times \frac{1}{2} \implies AB = 2x$
$BC = AC \tan(60^{\circ}) = x \sqrt{3}$

Sekarang kita analisis barisan panjang sisi yang dibentuk:
1. AC = x
2. CC1 tegak lurus AB. Dalam segitiga siku-siku ACC1, $\angle CAC1 = 60^{\circ}$.
$CC1 = AC \sin(60^{\circ}) = x \frac{\sqrt{3}}{2}$
3. C1C2 tegak lurus BC. Perhatikan segitiga siku-siku CC1B. $\angle CBC1 = 30^{\circ}$.
$C1C2 = CC1 \sin(30^{\circ}) = (x \frac{\sqrt{3}}{2}) \times \frac{1}{2} = x \frac{\sqrt{3}}{4}$
4. C2C3 tegak lurus AB. Perhatikan segitiga siku-siku CC1C2. $\angle CC1C2 = 90^{\circ}$. Perhatikan segitiga CC2B. $\angle C2BC = 30^{\circ}$.
$C2C3 = C1C2 \sin(30^{\circ}) = (x \frac{\sqrt{3}}{4}) \times \frac{1}{2} = x \frac{\sqrt{3}}{8}$

Pola panjang sisi yang dibentuk adalah $x, x \frac{\sqrt{3}}{2}, x \frac{\sqrt{3}}{4}, x \frac{\sqrt{3}}{8}, \dots$
Ini adalah deret geometri dengan suku pertama $a = x$ dan rasio $r = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Jumlah tak hingga deret geometri adalah $S = \frac{a}{1-r}$, dengan $|r| < 1$.
Dalam kasus ini, $r = \frac{\sqrt{3}}{4} \approx \frac{1.732}{4} < 1$.
Jadi, jumlahnya adalah:
$S = \frac{x}{1 - \frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{x}{\frac{4 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{4x}{4 - \sqrt{3}}$

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan sekawan:
$S = \frac{4x}{4 - \sqrt{3}} \times \frac{4 + \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}} = \frac{4x(4 + \sqrt{3})}{16 - 3} = \frac{4x(4 + \sqrt{3})}{13} = \frac{16x + 4x\sqrt{3}}{13}$