Jika penyelesaian dari pertidaksamaan cos x-sin x >= 0

Nilai dari a-d+(c)/(b) adalah 3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan cos x - sin x >= 0 untuk 0 <= x <= 2 pi, kita dapat mengubah bentuknya menjadi cos x >= sin x. Ini setara dengan membagi kedua sisi dengan cos x. Namun, kita perlu berhati-hati karena tanda pertidaksamaan akan berubah jika cos x negatif. Alternatifnya, kita bisa mengubahnya menjadi bentuk R cos(x + alpha) atau R sin(x + alpha). Mari kita ubah menjadi bentuk R cos(x + alpha). Kita tahu bahwa R cos(x + alpha) = R(cos x cos alpha - sin x sin alpha). Kita ingin ini sama dengan cos x - sin x. Maka, R cos alpha = 1 dan R sin alpha = 1. Kuadratkan dan jumlahkan: R^2 cos^2 alpha + R^2 sin^2 alpha = 1^2 + 1^2, sehingga R^2 = 2, dan R = sqrt(2). Untuk mencari alpha, kita punya tan alpha = (R sin alpha) / (R cos alpha) = 1 / 1 = 1. Karena cos alpha positif dan sin alpha positif, alpha berada di kuadran I, sehingga alpha = pi/4. Maka, pertidaksamaan menjadi sqrt(2) cos(x + pi/4) >= 0. Ini berarti cos(x + pi/4) >= 0. Fungsi cosinus bernilai non-negatif pada kuadran I dan IV. Jadi, -pi/2 + 2k*pi <= x + pi/4 <= pi/2 + 2k*pi, di mana k adalah bilangan bulat. Mengurangi pi/4 dari semua bagian: -pi/2 - pi/4 + 2k*pi <= x <= pi/2 - pi/4 + 2k*pi. Ini memberikan -3pi/4 + 2k*pi <= x <= pi/4 + 2k*pi. Karena kita dibatasi pada 0 <= x <= 2 pi, kita perlu mencari nilai k yang sesuai. Untuk k=0, kita punya -3pi/4 <= x <= pi/4. Dalam rentang 0 <= x <= 2 pi, ini berarti 0 <= x <= pi/4. Untuk k=1, kita punya -3pi/4 + 2pi <= x <= pi/4 + 2pi, yang menyederhanakan menjadi 5pi/4 <= x <= 9pi/4. Dalam rentang 0 <= x <= 2 pi, ini berarti 5pi/4 <= x <= 2 pi. Jadi, penyelesaiannya adalah 0 <= x <= pi/4 atau 5pi/4 <= x <= 2 pi. Ini dapat ditulis sebagai 0 pi <= x <= 1/4 pi atau 5/4 pi <= x <= 2 pi. Dari sini, kita dapat mengidentifikasi a=0, b=1/4, c=5/4, dan d=2. Maka, nilai dari a - d + (c)/(b) adalah 0 - 2 + (5/4) / (1/4) = -2 + (5/4) * 4 = -2 + 5 = 3.