Jika pertidaksamaan 2^(2x^2 + m) > (1/4)^(2 - mx) berlaku

-2 < m < 4

Pembahasan

Pertidaksamaan yang diberikan adalah 2^(2x^2 + m) > (1/4)^(2 - mx). Pertama, kita ubah basis (1/4) menjadi basis 2. Kita tahu bahwa 1/4 = 2^(-2). Jadi, pertidaksamaan menjadi 2^(2x^2 + m) > (2^(-2))^(2 - mx). Menggunakan sifat eksponen (a^b)^c = a^(b*c), kita dapatkan 2^(2x^2 + m) > 2^(-2*(2 - mx)). Ini menyederhanakan menjadi 2^(2x^2 + m) > 2^(-4 + 2mx). Karena basisnya sama (yaitu 2, yang lebih besar dari 1), kita dapat membandingkan eksponennya secara langsung: 2x^2 + m > -4 + 2mx. Kita susun ulang pertidaksamaan ini menjadi bentuk kuadratik: 2x^2 - 2mx + m + 4 > 0. Agar pertidaksamaan ini berlaku untuk setiap x bilangan real, grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x^2 - 2mx + m + 4 harus selalu berada di atas sumbu x. Ini berarti fungsi kuadrat tersebut harus memiliki akar kembar atau tidak memiliki akar real sama sekali. Kondisi ini terpenuhi jika diskriminan (D) kurang dari atau sama dengan nol. Diskriminan dari ax^2 + bx + c adalah D = b^2 - 4ac. Dalam kasus ini, a = 2, b = -2m, dan c = m + 4. Jadi, D = (-2m)^2 - 4(2)(m + 4). D = 4m^2 - 8(m + 4) = 4m^2 - 8m - 32. Kita perlu D <= 0, yang berarti 4m^2 - 8m - 32 <= 0. Bagi seluruh pertidaksamaan dengan 4: m^2 - 2m - 8 <= 0. Sekarang kita faktorkan kuadratik m^2 - 2m - 8. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -8 dan jika dijumlahkan menghasilkan -2. Bilangan-bilangan tersebut adalah -4 dan 2. Jadi, faktorisasi adalah (m - 4)(m + 2) <= 0. Untuk menentukan interval di mana pertidaksamaan ini berlaku, kita cari akar-akarnya, yaitu m = 4 dan m = -2. Kita uji interval yang dibentuk oleh akar-akar ini: untuk m < -2, m - 4 negatif dan m + 2 negatif, sehingga hasil kalinya positif. Untuk -2 < m < 4, m - 4 negatif dan m + 2 positif, sehingga hasil kalinya negatif. Untuk m > 4, m - 4 positif dan m + 2 positif, sehingga hasil kalinya positif. Karena kita menginginkan (m - 4)(m + 2) <= 0, maka interval yang memenuhi adalah -2 <= m <= 4. Namun, dalam soal pilihan jawaban, tidak ada pilihan yang mencakup nilai sama dengan. Kita asumsikan bahwa pertidaksamaan harus berlaku ketat, yang berarti diskriminan harus kurang dari nol (D < 0) untuk memastikan parabola selalu di atas sumbu x dan tidak menyentuh atau memotong sumbu x. Jika D < 0, maka m^2 - 2m - 8 < 0, yang menghasilkan -2 < m < 4. Mari kita periksa kembali pilihan jawaban yang diberikan: A. -4 < m < 2, B. -2 < m < 4, C. -4 < m < 4, D. m < -4 atau m > 2, E. m < -2 atau m > 4. Berdasarkan perhitungan D < 0, pilihan B. -2 < m < 4 adalah jawaban yang paling sesuai.