Jika pi/2<x<pi dan tan x=a maka (sin x+cos x)^2 sama dengan

$\frac{(1 - a)^2}{1 + a^2}$

Pembahasan

Diketahui $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, yang berarti sudut $x$ berada di Kuadran II. Di Kuadran II, nilai $\sin x$ positif dan $\cos x$ negatif.
Diketahui $\tan x = a$. Kita tahu bahwa $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
Kita dapat menggunakan identitas trigonometri $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$. Karena $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, maka $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + a^2$, sehingga $\cos^2 x = \frac{1}{1 + a^2}$.
Karena $x$ di Kuadran II, $\cos x$ negatif, jadi $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$.
Selanjutnya, kita gunakan $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Maka $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \frac{1}{1 + a^2} = \frac{1 + a^2 - 1}{1 + a^2} = \frac{a^2}{1 + a^2}$.
Karena $x$ di Kuadran II, $\sin x$ positif, jadi $\sin x = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$.
Sekarang kita hitung $(\sin x + \cos x)^2$:
$$ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x $$ $$ = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x $$ $$ = 1 + 2 \left( \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}} \right) \left( -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} \right) $$ $$ = 1 + 2 \left( -\frac{a}{1 + a^2} \right) $$ $$ = 1 - \frac{2a}{1 + a^2} $$ $$ = \frac{1 + a^2 - 2a}{1 + a^2} $$ $$ = \frac{(1 - a)^2}{1 + a^2} $$