Jika segitiga ABC siku-siku di C , dan diketahui sin A cos

Nilai tan A / tan B adalah 3/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan sifat segitiga siku-siku.

Diketahui:
Segitiga ABC siku-siku di C.
sin A cos B = 3/5

Kita perlu mencari nilai tan A / tan B.

Dalam segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di C:
- Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip.
- A + B = 90°
- cos B = sin A
- sin B = cos A

Substitusikan cos B = sin A ke dalam persamaan yang diberikan:
sin A * (sin A) = 3/5
sin² A = 3/5

Ini memberikan nilai sin² A. Namun, ini mungkin bukan cara tercepat atau paling langsung.

Mari kita gunakan hubungan A + B = 90°.
Ini berarti B = 90° - A.
Maka, cos B = cos (90° - A) = sin A.
Dan sin B = sin (90° - A) = cos A.

Persamaan yang diberikan adalah sin A cos B = 3/5.
Substitusikan cos B = sin A:
sin A * sin A = 3/5
sin² A = 3/5

Dari sin² A, kita bisa mencari cos² A:
cos² A = 1 - sin² A
cos² A = 1 - 3/5
cos² A = 2/5

Sekarang kita bisa mencari tan A:
tan A = sin A / cos A
tan² A = sin² A / cos² A
tan² A = (3/5) / (2/5)
tan² A = 3/2

Selanjutnya, mari kita lihat tan B.
Karena B = 90° - A, maka tan B = tan (90° - A) = cot A = 1 / tan A.

Jadi, kita perlu mencari tan B:
tan B = cot A = 1 / tan A

Kita sudah tahu tan² A = 3/2. Maka, tan A = sqrt(3/2).

Sekarang, kita hitung tan B:
tan B = 1 / tan A
tan B = 1 / sqrt(3/2)
tan B = sqrt(2/3)

Akhirnya, kita hitung tan A / tan B:
tan A / tan B = tan A / (1 / tan A)
tan A / tan B = tan A * tan A
tan A / tan B = tan² A

Karena kita sudah menghitung tan² A = 3/2:

tan A / tan B = 3/2.

Mari kita verifikasi langkah-langkahnya:
1. Hubungan sudut: A + B = 90°.
2. Identitas: cos B = sin A, sin B = cos A, tan B = cot A = 1/tan A.
3. Diberikan: sin A cos B = 3/5.
4. Substitusi cos B = sin A: sin A * sin A = 3/5 => sin² A = 3/5.
5. Cari cos² A: cos² A = 1 - sin² A = 1 - 3/5 = 2/5.
6. Cari tan² A: tan² A = sin² A / cos² A = (3/5) / (2/5) = 3/2.
7. Cari tan B: tan B = cot A = 1/tan A.
8. Cari rasio: tan A / tan B = tan A / (1/tan A) = tan² A.
9. Hasil: tan A / tan B = 3/2.

Ini terlihat benar. Alternatif lain untuk mencari tan B:
tan B = sin B / cos B.
Kita tahu sin B = cos A dan cos B = sin A.
tan B = cos A / sin A = cot A = 1/tan A.

Jadi, tan A / tan B = tan A / (cos A / sin A) = tan A * (sin A / cos A) = tan A * tan A = tan² A.

Nilai tan² A = 3/2.

Jawaban: 3/2