Jika sin 10=a , maka ... (A) (1)/(sin 10)-4 sin 70=2 (B)

Ekspresi yang setara adalah (1)/(sin 10) - 8 sin 70 = 4 - (1)/(a).

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan manipulasi identitas trigonometri. Diberikan sin 10 = a. Kita perlu menentukan pilihan mana yang benar di antara pilihan yang diberikan.

Pilihan A: (1)/(sin 10) - 4 sin 70 = 2
Substitusi sin 10 = a: 1/a - 4 sin 70 = 2
Kita tahu sin 70 = cos (90-70) = cos 20. Juga, sin 10 = 2 sin 5 cos 5.
Ini tidak langsung menyederhanakan ke bentuk yang mudah.

Pilihan B: (1)/(sin 10) + 4 sin 70 = 2 a
Substitusi sin 10 = a: 1/a + 4 sin 70 = 2a

Pilihan C: (1)/(sin 10) - 8 sin 70 = 4 - (1)/(a)
Substitusi sin 10 = a: 1/a - 8 sin 70 = 4 - 1/a
2/a - 8 sin 70 = 4
1/a - 4 sin 70 = 2
Ini sama dengan Pilihan A.

Pilihan D: (1)/(sin 10) - 16 sin 70 = 8 - (1)/(a)
Substitusi sin 10 = a: 1/a - 16 sin 70 = 8 - 1/a
2/a - 16 sin 70 = 8
1/a - 8 sin 70 = 4
Ini juga mengarah ke Pilihan A.

Mari kita fokus pada identitas yang melibatkan sin 10 dan sin 70.
Kita tahu sin 70 = cos (90 - 70) = cos 20.
Juga, kita tahu identitas sudut rangkap: sin(2x) = 2 sin x cos x.
Dan identitas sudut rangkap untuk cos: cos(2x) = 1 - 2 sin^2 x atau cos(2x) = 2 cos^2 x - 1.

Perhatikan relasi antara sin 10 dan sin 70. 
sin 70 = cos 20.
Apakah ada hubungan antara sin 10 dan cos 20?
cos 20 = 1 - 2 sin^2 10.
Karena sin 10 = a, maka cos 20 = 1 - 2a^2.
Jadi, sin 70 = 1 - 2a^2.

Sekarang substitusikan ini ke dalam pilihan-pilihan:

Pilihan A: 1/a - 4(1 - 2a^2) = 1/a - 4 + 8a^2. Apakah ini sama dengan 2?
1/a - 4 + 8a^2 = 2
1/a + 8a^2 = 6
1 + 8a^3 = 6a
8a^3 - 6a + 1 = 0. Ini bukan identitas yang jelas benar.

Mari kita cek kembali pilihan C dan D yang mengarah ke 1/a - 4 sin 70 = 2 dan 1/a - 8 sin 70 = 4.
Jika 1/a - 4 sin 70 = 2, maka 1/a - 4(1 - 2a^2) = 2 => 1/a - 4 + 8a^2 = 2 => 1/a + 8a^2 = 6.

Perhatikan kembali soalnya, mungkin ada identitas yang perlu digunakan.
Coba kita manipulasi ekspresi di pilihan.

Pilihan C: (1)/(sin 10) - 8 sin 70 = 4 - (1)/(a)
1/a - 8 cos 20 = 4 - 1/a
2/a - 8 cos 20 = 4
1/a - 4 cos 20 = 2
1/a - 4(1 - 2a^2) = 2
1/a - 4 + 8a^2 = 2
1/a + 8a^2 = 6
1 + 8a^3 = 6a
8a^3 - 6a + 1 = 0.

Perlu diingat identitas:
sin(3x) = 3 sin x - 4 sin^3 x.
cos(3x) = 4 cos^3 x - 3 cos x.

Mari kita lihat hubungan antara sin 10 dan sin 70 lagi.
sin 70 = cos 20.
Kita tahu bahwa cos 60 = 1/2.
cos 60 = cos (3 * 20) = 4 cos^3 20 - 3 cos 20.
Misalkan y = cos 20. Maka 4y^3 - 3y = 1/2.
8y^3 - 6y = 1.
Jika kita substitusi y = sin 70, kita dapatkan 8 sin^3 70 - 6 sin 70 = 1.

Sekarang, kita punya sin 10 = a.
Kita juga punya sin 70 = cos 20. Dan cos 20 = 1 - 2 sin^2 10 = 1 - 2a^2.

Mari kita kembali ke pilihan C:
(1)/(sin 10) - 8 sin 70 = 4 - (1)/(a)
1/a - 8 cos 20 = 4 - 1/a
2/a - 8 cos 20 = 4
1/a - 4 cos 20 = 2
Substitusi cos 20 = 1 - 2a^2:
1/a - 4(1 - 2a^2) = 2
1/a - 4 + 8a^2 = 2
1/a + 8a^2 = 6
1 + 8a^3 = 6a
8a^3 - 6a + 1 = 0.

Ini adalah bentuk yang mirip dengan identitas cos 60. Jika kita menguji apakah sin 10 memenuhi persamaan ini, maka kita bisa membuktikan salah satu pilihan.
Jika sin 10 = a, maka nilai a sangat kecil (sekitar 0.1736). Mari kita cek apakah 8(0.1736)^3 - 6(0.1736) + 1 mendekati 0.
8(0.0052) - 1.0416 + 1 = 0.0416 - 1.0416 + 1 = 0.
Jadi, persamaan 8a^3 - 6a + 1 = 0 memang benar jika a = sin 10.

Ini berarti bahwa pilihan C adalah jawaban yang benar.