Jika sin A-sin B=-(1)/(3) dan cos A-cos B=(1)/(2) , maka

Nilai 2 + 5 tan (A+B) adalah -10.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri dan menyelesaikan sistem persamaan yang diberikan.

Diketahui:
sin A - sin B = -1/3  (Persamaan 1)
cos A - cos B = 1/2   (Persamaan 2)

Kita perlu mencari nilai dari 2 + 5 tan (A+B).

Langkah 1: Gunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.
Rumus selisih sinus: sin x - sin y = 2 cos((x+y)/2) sin((x-y)/2)
Rumus selisih kosinus: cos x - cos y = -2 sin((x+y)/2) sin((x-y)/2)

Terapkan pada Persamaan 1:
2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2) = -1/3

Terapkan pada Persamaan 2:
-2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2) = 1/2

Langkah 2: Bagi kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan tan((A+B)/2).
(2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)) / (-2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)) = (-1/3) / (1/2)

- cot((A+B)/2) = -2/3

cot((A+B)/2) = 2/3

Jika cot((A+B)/2) = 2/3, maka tan((A+B)/2) = 3/2.

Langkah 3: Gunakan rumus tangen jumlah dua sudut untuk mencari tan(A+B).
Rumus tangen jumlah: tan(x+y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x tan y)
Dalam kasus ini, kita memiliki tan((A+B)/2), jadi kita perlu menggunakan identitas:
tan(A+B) = 2 tan((A+B)/2) / (1 - tan^2((A+B)/2))

tan(A+B) = 2 * (3/2) / (1 - (3/2)^2)
tan(A+B) = 3 / (1 - 9/4)
tan(A+B) = 3 / ((4-9)/4)
tan(A+B) = 3 / (-5/4)
tan(A+B) = 3 * (-4/5)
tan(A+B) = -12/5

Langkah 4: Substitusikan nilai tan(A+B) ke dalam ekspresi yang diminta.
2 + 5 tan (A+B) = 2 + 5 * (-12/5)
2 + 5 tan (A+B) = 2 - 12
2 + 5 tan (A+B) = -10

Jadi, nilai dari 2 + 5 tan (A+B) adalah -10.