Jika sin alph+ sin beta= k dan cos alpha + cos beta = m,

Terbukti dengan menggunakan identitas trigonometri jumlah dan selisih sudut.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas k^2 + m^2 = 2[1 + cos(alpha - beta)] dengan diketahui sin alpha + sin beta = k dan cos alpha + cos beta = m, kita akan menjabarkan k^2 dan m^2 terlebih dahulu.

k^2 = (sin alpha + sin beta)^2 = sin^2 alpha + 2 sin alpha sin beta + sin^2 beta
m^2 = (cos alpha + cos beta)^2 = cos^2 alpha + 2 cos alpha cos beta + cos^2 beta

Sekarang, kita jumlahkan k^2 dan m^2:
k^2 + m^2 = (sin^2 alpha + 2 sin alpha sin beta + sin^2 beta) + (cos^2 alpha + 2 cos alpha cos beta + cos^2 beta)

Kelompokkan suku-suku yang serupa:
k^2 + m^2 = (sin^2 alpha + cos^2 alpha) + (sin^2 beta + cos^2 beta) + 2 sin alpha sin beta + 2 cos alpha cos beta

Kita tahu bahwa identitas trigonometri dasar menyatakan sin^2 x + cos^2 x = 1. Maka:
k^2 + m^2 = 1 + 1 + 2 (sin alpha sin beta + cos alpha cos beta)
k^2 + m^2 = 2 + 2 (cos alpha cos beta + sin alpha sin beta)

Kita juga tahu identitas trigonometri untuk cosinus selisih sudut: cos(alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta. Maka:
k^2 + m^2 = 2 + 2 cos(alpha - beta)

Terakhir, faktorkan 2:
k^2 + m^2 = 2 [1 + cos(alpha - beta)]

Identitas telah terbukti.