Hitunglah nilai limit trigonometri berikut. lim x->1

Nilai limit adalah 1

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit trigonometri lim x->1 ((sin(1-1/x)cos(1-1/x))/(x-1)), kita dapat melakukan substitusi dengan memisalkan y = 1 - 1/x. Ketika x mendekati 1, maka 1/x mendekati 1, sehingga y mendekati 0. Dari y = 1 - 1/x, kita dapatkan 1/x = 1 - y, sehingga x = 1/(1-y). Maka x - 1 = 1/(1-y) - 1 = (1 - (1-y))/(1-y) = y/(1-y).

Dengan substitusi ini, limit menjadi:
lim y->0 (sin(y)cos(y))/(y/(1-y))
= lim y->0 (sin(y)cos(y) * (1-y))/y
Kita tahu bahwa lim y->0 sin(y)/y = 1. Maka:
= (lim y->0 sin(y)/y) x (lim y->0 cos(y)) x (lim y->0 (1-y))
= 1 x cos(0) x (1-0)
= 1 x 1 x 1
= 1