Jika sin alpha + sin beta = p dan cos alpha + cos beta= q,

Terbukti dengan menggunakan identitas penjumlahan sinus dan kosinus.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri tersebut, kita akan menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan sudut.

Diketahui:
sin alpha + sin beta = p
cos alpha + cos beta = q

Kita akan menggunakan identitas:
sin x + sin y = 2 sin((x+y)/2) cos((x-y)/2)
cos x + cos y = 2 cos((x+y)/2) cos((x-y)/2)

Substitusikan identitas ini ke dalam p dan q:

p = 2 sin((alpha+beta)/2) cos((alpha-beta)/2)

q = 2 cos((alpha+beta)/2) cos((alpha-beta)/2)

Sekarang, mari kita jumlahkan p dan q:
p + q = [2 sin((alpha+beta)/2) cos((alpha-beta)/2)] + [2 cos((alpha+beta)/2) cos((alpha-beta)/2)]

Kita bisa memfaktorkan 2 cos((alpha-beta)/2) dari kedua suku:
p + q = 2 cos((alpha-beta)/2) [sin((alpha+beta)/2) + cos((alpha+beta)/2)]

Hasil ini sesuai dengan yang diminta untuk dibuktikan.

Jadi, terbukti bahwa p + q = 2 cos(1/2(alpha-beta)){sin(1/2(alpha+beta))+cos(1/2(alpha+beta))}.