Titik A(5,-4), B(2,-8) dan C(k, 12) berada di garis lurus

Nilai k adalah 17. Koordinat titik P adalah (-9/2, 0). Persamaan garis yang melalui P dan (0, 3) adalah y = 2/3x + 3.

Pembahasan

a. Karena ketiga titik berada pada garis lurus yang sama, maka gradien garis AB sama dengan gradien garis BC.
Gradien garis AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-8 - (-4)) / (2 - 5) = -4 / -3 = 4/3.
Gradien garis BC = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (12 - (-8)) / (k - 2) = 20 / (k - 2).
Karena gradien AB = gradien BC, maka 4/3 = 20 / (k - 2).
4(k - 2) = 3 * 20
4k - 8 = 60
4k = 68
k = 17.

b. (i) Titik P berada di sumbu-X, sehingga koordinat P adalah (x, 0).
Jarak AP = Jarak BP.
AP^2 = BP^2
(x - 5)^2 + (0 - (-4))^2 = (x - 2)^2 + (0 - (-8))^2
x^2 - 10x + 25 + 16 = x^2 - 4x + 4 + 64
x^2 - 10x + 41 = x^2 - 4x + 68
-10x + 41 = -4x + 68
-6x = 27
x = -27/6 = -9/2.
Jadi, koordinat titik P adalah (-9/2, 0).

(ii) Persamaan garis yang melalui P(-9/2, 0) dan (0, 3).
Gradien = (3 - 0) / (0 - (-9/2)) = 3 / (9/2) = 3 * (2/9) = 6/9 = 2/3.
Persamaan garis: y - y1 = m(x - x1)
y - 0 = 2/3 (x - (-9/2))
y = 2/3 (x + 9/2)
y = 2/3x + 2/3 * 9/2
y = 2/3x + 3.
Jadi, persamaan garisnya adalah y = 2/3x + 3.