Jika Sn adalah suku ke-n dari deret aritmetika, buktikan

Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika, $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$, terbukti bahwa $S_{n+1}-2S_n+S_{n-1}=b$.

Pembahasan

Untuk membuktikan $S_{n+1} - 2S_n + S_{n-1} = b$ pada deret aritmetika, di mana $S_n$ adalah jumlah $n$ suku pertama dan $b$ adalah beda deret, kita dapat menggunakan definisi $S_n$. 

Rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika adalah: $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$, di mana $a$ adalah suku pertama dan $b$ adalah beda.

Mari kita substitusikan $S_{n+1}$, $S_n$, dan $S_{n-1}$ ke dalam persamaan yang ingin dibuktikan:

$S_{n+1} = \frac{n+1}{2}(2a + ((n+1)-1)b) = \frac{n+1}{2}(2a + nb)$
$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$
$S_{n-1} = \frac{n-1}{2}(2a + ((n-1)-1)b) = \frac{n-1}{2}(2a + (n-2)b)$

Sekarang kita hitung $S_{n+1} - 2S_n + S_{n-1}$:

$S_{n+1} - 2S_n + S_{n-1} = \frac{n+1}{2}(2a + nb) - 2\frac{n}{2}(2a + (n-1)b) + \frac{n-1}{2}(2a + (n-2)b)$
$= \frac{1}{2} [ (n+1)(2a + nb) - 2n(2a + (n-1)b) + (n-1)(2a + (n-2)b) ]$
$= \frac{1}{2} [ (2an + n^2b + 2a + nb) - (4an + 2n(n-1)b) + (2an + n(n-2)b - 2a - (n-2)b) ]$
$= \frac{1}{2} [ (2an + n^2b + 2a + nb) - (4an + (2n^2-2n)b) + (2an + (n^2-2n)b - 2a - (n-2)b) ]$

Mari kita kelompokkan suku-suku berdasarkan $a$ dan $b$:

Suku dengan $a$: $2an - 4an + 2an + 2a - 2a = 0$

Suku dengan $b$: $n^2b + nb - (2n^2-2n)b + (n^2-2n)b - (n-2)b$
$= b [ n^2 + n - (2n^2-2n) + (n^2-2n) - (n-2) ]$
$= b [ n^2 + n - 2n^2 + 2n + n^2 - 2n - n + 2 ]$
$= b [ (n^2 - 2n^2 + n^2) + (n + 2n - 2n - n) + 2 ]$
$= b [ 0 + 0 + 2 ]$
$= 2b$

Jadi, $S_{n+1} - 2S_n + S_{n-1} = \frac{1}{2} [ 0 + 2b ] = b$.

Ini membuktikan bahwa $S_{n+1}-2S_n+S_{n-1}=b$ untuk deret aritmetika.