Jika suku banyak x^3+mx+n habis dibagi oleh x^2+x+1 maka

-1

Pembahasan

Jika suku banyak $f(x) = x^3 + mx + n$ habis dibagi oleh $x^2 + x + 1$, ini berarti bahwa $x^2 + x + 1$ adalah faktor dari $f(x)$. Dengan kata lain, akar-akar dari $x^2 + x + 1$ juga merupakan akar-akar dari $f(x)$.

Kita bisa mencari akar-akar dari $x^2 + x + 1 = 0$. Menggunakan rumus kuadrat $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, kita dapatkan:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}$
$x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

Akar-akarnya adalah $\omega$ dan $\omega^2$, di mana $\omega$ adalah akar kompleks dari kesatuan.
Kita tahu bahwa $\omega^3 = 1$ dan $1 + \omega + \omega^2 = 0$.

Karena $f(x)$ habis dibagi oleh $x^2+x+1$, maka $f(\omega) = 0$.
$f(\omega) = \omega^3 + m\omega + n = 0$
Karena $\omega^3 = 1$, maka:
$1 + m\omega + n = 0$
$(m\omega) = -(1+n)$
$\omega = \frac{-(1+n)}{m}$

Kita juga tahu bahwa $1 + \omega + \omega^2 = 0$. Dari $\omega^2 + \omega + 1 = 0$, kita dapatkan $\omega^2 = -\omega - 1$. Substitusikan $\omega = \frac{-(1+n)}{m}$:
$(\frac{-(1+n)}{m})^2 + (\frac{-(1+n)}{m}) + 1 = 0$
$\frac{(1+n)^2}{m^2} - \frac{1+n}{m} + 1 = 0$
Kalikan dengan $m^2$:
$(1+n)^2 - m(1+n) + m^2 = 0$
$1 + 2n + n^2 - m - mn + m^2 = 0$

Alternatif lain adalah dengan menggunakan pembagian polinomial atau teorema sisa.
Jika $x^3 + mx + n$ dibagi oleh $x^2 + x + 1$, hasil baginya adalah $x-1$ dan sisanya harus 0.
$(x^2+x+1)(x-1) = x^3 - x^2 + x^2 - x + x - 1 = x^3 - 1$

Jadi, $x^3 + mx + n$ harus sama dengan $x^3 - 1$ agar habis dibagi oleh $x^2 + x + 1$.
Dengan membandingkan kedua suku banyak:
$x^3 + mx + n = x^3 - 1$

Koefisien $x^2$ pada $x^3 + mx + n$ adalah 0, yang sesuai dengan koefisien $x^2$ pada $x^3 - 1$.
Koefisien $x$ pada $x^3 + mx + n$ adalah $m$, dan pada $x^3 - 1$ adalah 0. Jadi, $m = 0$.
Konstanta pada $x^3 + mx + n$ adalah $n$, dan pada $x^3 - 1$ adalah -1. Jadi, $n = -1$.

Ditanya nilai $(m+n)$.
$m+n = 0 + (-1) = -1$.

Jadi, $(m+n)$ sama dengan -1.