Jika tan 25= alpha, hitunglah: (tan 155-tan115)/(1+tan

(1 - α²) / (2α)

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan identitas trigonometri.
Diketahui tan 25° = α.
Kita perlu menghitung: (tan 155° - tan 115°) / (1 + tan 115° ⋅ tan 155°).

Ini adalah bentuk dari rumus penjumlahan/pengurangan tangen:
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A ⋅ tan B).

Dalam kasus ini, kita bisa melihat bahwa ekspresi yang diberikan adalah tan(155° - 115°).

Langkah 1: Tentukan nilai dari 155° - 115°.
155° - 115° = 40°.

Jadi, ekspresi tersebut sama dengan tan(40°).

Langkah 2: Hubungkan dengan nilai α (tan 25°).
Kita tahu bahwa tan(90° - x) = cot(x) = 1/tan(x).
Dan tan(180° - x) = -tan(x).

Mari kita ubah tan 155° dan tan 115°:
tan 155° = tan(180° - 25°) = -tan 25° = -α.
tan 115° = tan(90° + 25°) = -cot 25° = -1/tan 25° = -1/α.

Langkah 3: Substitusikan kembali ke dalam ekspresi awal.
(tan 155° - tan 115°) / (1 + tan 115° ⋅ tan 155°)
= (-α - (-1/α)) / (1 + (-1/α) ⋅ (-α))
= (-α + 1/α) / (1 + 1)
= (-α + 1/α) / 2
= ((-α² + 1)/α) / 2
= (1 - α²) / (2α)

Namun, jika kita langsung menggunakan rumus tan(A-B), kita mendapatkan tan(40°). Kita perlu mengekspresikan tan(40°) dalam bentuk α (tan 25°).

Ada kemungkinan soal ini mengacu pada identitas tan(A-B) secara langsung.
Jika kita melihat bentuk (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B), ini adalah tan(A-B).
Jadi, kita menghitung tan(155° - 115°) = tan(40°).

Sekarang, mari kita periksa kembali apakah ada cara yang lebih mudah untuk menghubungkan tan(40°) dengan tan(25°).
Kita tahu tan(A+B) = (tan A + tan B)/(1-tan A tan B).
tan(25° + 15°) = (tan 25° + tan 15°)/(1-tan 25° tan 15°).
Ini tidak secara langsung memberikan tan(40°).

Mari kita lihat alternatif:
tan(155°) = tan(180° - 25°) = -tan(25°) = -α
tan(115°) = tan(180° - 65°) = -tan(65°)
Kita juga tahu tan(65°) = tan(90° - 25°) = cot(25°) = 1/tan(25°) = 1/α.
Jadi, tan(115°) = -1/α.

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi:
(tan 155° - tan 115°) / (1 + tan 115° ⋅ tan 155°)
= (-α - (-1/α)) / (1 + (-1/α) ⋅ (-α))
= (-α + 1/α) / (1 + 1)
= (-α + 1/α) / 2
= ((-α² + 1)/α) / 2
= (1 - α²) / (2α)

Ini adalah jawaban yang benar berdasarkan substitusi langsung.

Jawaban:
Hasil dari (tan 155° - tan 115°) / (1 + tan 115° ⋅ tan 155°) adalah (1 - α²) / (2α).