Jika tan 2x=cotan x dan 0<=x<=pi, maka himpunan nilai x

Himpunan nilai x yang memenuhi persamaan tan 2x = cot x dalam rentang 0 ≤ x ≤ π adalah {π/6, π/2, 5π/6}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan \(\\tan 2x = \\cot x\) dengan syarat \(0 \\leq x \\leq \\pi\), kita perlu mengubah \(\cot x\) menjadi \(\tan (\\frac{\\pi}{2} - x)\\) agar kedua sisi persamaan memiliki fungsi trigonometri yang sama. Persamaan menjadi \(\tan 2x = \\tan (\\frac{\\pi}{2} - x)\\. Solusi umum untuk \(\tan A = \\tan B\) adalah \(A = B + n\\pi\), di mana \(n\) adalah bilangan bulat. Jadi, \(2x = \\frac{\\pi}{2} - x + n\\pi\). Dengan menyusun ulang persamaan, kita mendapatkan \(3x = \\frac{\\pi}{2} + n\\pi\), yang menghasilkan \(x = \\frac{\\pi}{6} + \\frac{n\\pi}{3}\\. Dengan memasukkan nilai \(n=0, 1, 2, ...\) dan memeriksa apakah hasilnya berada dalam rentang \(0 \\leq x \\leq \\pi\), kita menemukan bahwa nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(x = \\frac{\\pi}{6}\) (untuk \(n=0\)), \(x = \\frac{\\pi}{2}\) (untuk \(n=1\)), dan \(x = \\frac{5\\pi}{6}\) (untuk \(n=2\)).