Nilai limit x -> 0 (cos 4x -1)/(x tan 2x) = ...

-4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0 langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit x -> 0 (cos 4x - 1) / (x tan 2x)

Turunan dari pembilang (cos 4x - 1) adalah -4 sin 4x.
Turunan dari penyebut (x tan 2x) adalah (1 * tan 2x) + (x * 2 sec^2 2x) = tan 2x + 2x sec^2 2x.

Jadi, limitnya menjadi:
Limit x -> 0 (-4 sin 4x) / (tan 2x + 2x sec^2 2x)

Sekarang, kita substitusikan x = 0:
(-4 sin(0)) / (tan(0) + 2(0) sec^2(0))
= (-4 * 0) / (0 + 0 * 1)
= 0 / 0

Karena masih menghasilkan bentuk tak tentu, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunan dari pembilang (-4 sin 4x) adalah -16 cos 4x.
Turunan dari penyebut (tan 2x + 2x sec^2 2x) adalah:
Turunan dari tan 2x adalah 2 sec^2 2x.
Turunan dari 2x sec^2 2x menggunakan aturan perkalian (u'v + uv'):
u = 2x, u' = 2
v = sec^2 2x, v' = 2 sec(2x) * (sec(2x) tan(2x) * 2) = 4 sec^2 2x tan 2x.
Jadi, turunan dari 2x sec^2 2x adalah 2 sec^2 2x + (2x * 4 sec^2 2x tan 2x) = 2 sec^2 2x + 8x sec^2 2x tan 2x.

Sehingga, turunan penyebut total adalah 2 sec^2 2x + 2 sec^2 2x + 8x sec^2 2x tan 2x = 4 sec^2 2x + 8x sec^2 2x tan 2x.

Limitnya menjadi:
Limit x -> 0 (-16 cos 4x) / (4 sec^2 2x + 8x sec^2 2x tan 2x)

Substitusikan x = 0:
(-16 cos 0) / (4 sec^2 0 + 8(0) sec^2 0 tan 0)
= (-16 * 1) / (4 * 1^2 + 0)
= -16 / 4
= -4

Jawaban: -4