Diketahui titik O (-2,2) dan Q (5,-2) , R (-4,-2) . OPQR

(3,2)

Pembahasan

Untuk menentukan koordinat titik K agar OPQR berbentuk trapesium sama kaki, kita perlu memahami sifat-sifat trapesium sama kaki dan menggunakan informasi titik-titik yang diberikan.

Titik yang diketahui:
O = (-2, 2)
Q = (5, -2)
R = (-4, -2)

Dalam trapesium sama kaki, sisi-sisi non-paralel memiliki panjang yang sama.
Pertama, mari kita identifikasi pasangan sisi yang mungkin sejajar. Perhatikan koordinat y dari Q dan R yang sama (-2), ini menunjukkan bahwa garis QR sejajar dengan sumbu x.

Jika QR adalah salah satu alas trapesium, maka sisi OP harus sejajar dengan QR. Agar OP sejajar dengan QR (yang horizontal), koordinat y dari O dan P harus sama. Namun, koordinat y O adalah 2, sehingga P tidak bisa berada di garis y=2 jika O adalah salah satu titik sudut.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain: sisi OR sejajar dengan sisi PQ.
- Vektor OR = R - O = (-4 - (-2), -2 - 2) = (-2, -4)
- Vektor PQ = Q - P = (5 - Px, -2 - Py)
Agar OR sejajar PQ, vektornya harus proporsional atau sama. Ini tidak langsung membantu menentukan P.

Alternatifnya, mari kita analisis berdasarkan sifat trapesium sama kaki:
1. Dua sisi sejajar (alas).
2. Dua sisi non-paralel sama panjang.

Jika QR adalah alas (sejajar sumbu x), maka sisi OP juga harus sejajar sumbu x, yang berarti koordinat y O dan P sama. Ini tidak mungkin karena O sudah di y=2.

Jika OR dan PQ adalah sisi non-paralel, maka panjang OR = panjang PQ.
Panjang OR = sqrt((-4 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2) = sqrt((-2)^2 + (-4)^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20)

Jika OR dan PQ adalah sisi non-paralel, maka sisi yang sejajar adalah OQ dan RP atau OP dan RQ.

Mari kita asumsikan OQ sejajar RP (ini tidak mungkin karena gradiennya berbeda).

Kemungkinan paling logis adalah bahwa QR dan OP adalah alas sejajar. Karena QR horizontal (y=-2), maka OP harus horizontal juga (y=konstan). Namun, O memiliki y=2. Ini berarti OP tidak bisa sejajar QR jika O dan P adalah titik sudut.

Mari kita pertimbangkan bentuk trapesium dengan titik-titik yang diberikan. Jika kita memplot titik-titik O(-2,2), Q(5,-2), R(-4,-2), kita melihat bahwa QR adalah segmen horizontal. Jika OP sejajar dengan QR, maka P harus memiliki koordinat y yang sama dengan O, yaitu 2. Namun, ini akan membentuk jajar genjang jika PQ sejajar OR, yang bukan trapesium.

Sifat trapesium sama kaki adalah: diagonalnya sama panjang, atau sumbu simetri tegak lurus dengan alas sejajar.

Mari kita periksa pilihan jawaban:
Jika K adalah titik yang dimaksud, dan OPQR adalah trapesium sama kaki, kita perlu menentukan mana sisi yang sejajar dan mana sisi yang sama panjang.

Perhatikan titik O(-2,2), Q(5,-2), R(-4,-2). Sisi QR adalah horizontal. Jika OP sejajar QR, maka koordinat y P harus sama dengan O (y=2). Jika P=(x,2), maka OQ dan RP adalah sisi non-paralel.
Panjang OR = sqrt((-4 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2) = sqrt((-2)^2 + (-4)^2) = sqrt(4+16) = sqrt(20).
Panjang PQ = sqrt((5-x)^2 + (-2-2)^2) = sqrt((5-x)^2 + (-4)^2).
Agar sama kaki, OR = PQ. Maka sqrt(20) = sqrt((5-x)^2 + 16).
20 = (5-x)^2 + 16 => 4 = (5-x)^2 => 5-x = ±2.
Jika 5-x = 2, maka x = 3. P = (3, 2).
Jika 5-x = -2, maka x = 7. P = (7, 2).

Dalam kasus ini, alas sejajar adalah QR dan OP. Tapi titik yang ditanyakan adalah K, bukan P. Jadi, kita perlu menginterpretasikan OPQR sebagai urutan titik sudut.

Kemungkinan 1: OP sejajar QR.
O(-2,2), P(x,y), Q(5,-2), R(-4,-2).
QR horizontal. OP harus horizontal (y=2). Maka P=(x,2).
Sisi non-paralel adalah OQ dan RP. Panjang OQ = sqrt((5-(-2))^2 + (-2-2)^2) = sqrt(7^2 + (-4)^2) = sqrt(49+16) = sqrt(65).
Panjang RP = sqrt((-4-x)^2 + (-2-2)^2) = sqrt((-4-x)^2 + (-4)^2).
Agar sama kaki, OQ = RP.
65 = (-4-x)^2 + 16 => 49 = (-4-x)^2 => -4-x = ±7.
Jika -4-x = 7, x = -11. P = (-11, 2).
Jika -4-x = -7, x = 3. P = (3, 2).

Kemungkinan 2: OR sejajar PQ.
O(-2,2), P(x,y), Q(5,-2), R(-4,-2).
Gradien OR = (-2-2)/(-4-(-2)) = -4/-2 = 2.
Gradien PQ = (-2-y)/(5-x).
Agar sejajar, 2 = (-2-y)/(5-x) => 10-2x = -2-y => y = 2x - 12.
Sisi non-paralel adalah OP dan RQ.
Panjang OP = sqrt((x-(-2))^2 + (y-2)^2) = sqrt((x+2)^2 + (y-2)^2).
Panjang RQ = sqrt((-4-5)^2 + (-2-(-2))^2) = sqrt((-9)^2 + 0^2) = 9.
Agar sama kaki, OP = RQ.
(x+2)^2 + (y-2)^2 = 81.
Substitusikan y = 2x - 12:
(x+2)^2 + (2x - 12 - 2)^2 = 81
(x+2)^2 + (2x - 14)^2 = 81
x^2 + 4x + 4 + 4x^2 - 56x + 196 = 81
5x^2 - 52x + 200 = 81
5x^2 - 52x + 119 = 0.
Diskriminan = b^2 - 4ac = (-52)^2 - 4(5)(119) = 2704 - 2380 = 324.
x = (52 ± sqrt(324)) / 10 = (52 ± 18) / 10.
x1 = (52+18)/10 = 70/10 = 7.
Jika x=7, y = 2(7) - 12 = 14 - 12 = 2. P = (7, 2).
x2 = (52-18)/10 = 34/10 = 3.4.
Jika x=3.4, y = 2(3.4) - 12 = 6.8 - 12 = -5.2. P = (3.4, -5.2).

Perhatikan pilihan jawaban yang diberikan untuk titik K. Soal menyatakan 'OPQR berbentuk trapesium sama kaki Jka koordinat titik K terletak di ...'. Ini kemungkinan salah ketik dan seharusnya menanyakan koordinat titik P. Namun, jika K adalah titik lain yang membentuk trapesium, informasi ini tidak cukup.

Mari kita asumsikan ada kesalahan pengetikan dan titik yang dicari adalah P.
Dari analisis di atas, jika OP sejajar QR, maka P bisa (3,2) atau (-11,2). Opsi (3,2) tidak ada di pilihan. Namun, jika kita perhatikan titik O(-2,2), Q(5,-2), R(-4,-2), dan mencari titik P keempat agar menjadi trapesium sama kaki. Ada dua kemungkinan konfigurasi trapesium:
1. QR sejajar OP.
2. OQ sejajar RP.

Jika QR sejajar OP, maka koordinat y O dan P harus sama (y=2). O(-2,2). Maka P=(x,2).
Sisi non-paralel adalah OQ dan RP. Panjang OQ = sqrt((5-(-2))^2 + (-2-2)^2) = sqrt(7^2 + (-4)^2) = sqrt(49+16) = sqrt(65).
Panjang RP = sqrt((-4-x)^2 + (-2-2)^2) = sqrt((-4-x)^2 + 16).
Agar sama kaki, OQ = RP.
65 = (-4-x)^2 + 16 => 49 = (-4-x)^2 => -4-x = ±7.
Jika -4-x = 7, x = -11. P = (-11, 2).
Jika -4-x = -7, x = 3. P = (3, 2).

Jika OQ sejajar RP, gradien OQ = (-2-2)/(5-(-2)) = -4/7.
Gradien RP = (-2-y)/(-4-x).
-4/7 = (-2-y)/(-4-x) => -4(-4-x) = 7(-2-y) => 16+4x = -14-7y => 7y = -4x - 30 => y = (-4/7)x - 30/7.
Sisi non-paralel adalah OR dan PQ.
Panjang OR = sqrt((-4-(-2))^2 + (-2-2)^2) = sqrt((-2)^2 + (-4)^2) = sqrt(4+16) = sqrt(20).
Panjang PQ = sqrt((5-x)^2 + (-2-y)^2).
Agar sama kaki, OR = PQ.
20 = (5-x)^2 + (-2-y)^2.
Substitusikan y = (-4/7)x - 30/7:
20 = (5-x)^2 + (-2 - ((-4/7)x - 30/7))^2
20 = (5-x)^2 + (-14/7 + 4x/7 + 30/7)^2
20 = (5-x)^2 + ((4x+16)/7)^2
20 = (5-x)^2 + 16(x+4)^2/49.
Ini akan menghasilkan persamaan kuadrat yang kompleks.

Mari kita lihat kembali titik O(-2,2), Q(5,-2), R(-4,-2). Jika kita mencari titik K untuk melengkapi trapesium sama kaki. 
Salah satu kemungkinan adalah OR dan PQ sejajar, dan OK = RQ.
Ini tidak cocok dengan penamaan OPQR.

Kemungkinan besar, ada kesalahan pengetikan pada soal dan seharusnya menanyakan koordinat titik P, dan salah satu alasnya adalah QR yang horizontal.
Dengan O(-2,2), Q(5,-2), R(-4,-2).
Jika QR sejajar OP, maka P memiliki y=2. P=(x,2).
Jika trapesiumnya OQRP, maka OR sejajar PQ. Gradien OR = 2. Gradien PQ = (-2-2)/(5-x) = -4/(5-x). Maka 2 = -4/(5-x) => 10-2x = -4 => 2x = 14 => x=7. P=(7,2).
Sisi non-paralel adalah OP dan RQ. Panjang OP = sqrt((7-(-2))^2 + (2-2)^2) = sqrt(9^2) = 9. Panjang RQ = 9. Ini adalah jajar genjang.

Jika trapesiumnya OPRQ, maka OR sejajar PQ. Gradien OR = 2. Gradien PQ = (-2-y)/(5-x). 2 = (-2-y)/(5-x). y = 2x - 12.
Sisi non-paralel adalah OQ dan PR.
Panjang OQ = sqrt(65).
Panjang PR = sqrt((-4-x)^2 + (-2-y)^2).
Agar sama kaki, OQ = PR.
65 = (-4-x)^2 + (-2-y)^2.
Substitusikan y = 2x - 12:
65 = (-4-x)^2 + (-2 - (2x-12))^2
65 = (-4-x)^2 + (-2x+10)^2
65 = 16 + 8x + x^2 + 4x^2 - 40x + 100
65 = 5x^2 - 32x + 116
5x^2 - 32x + 51 = 0.
Diskriminan = (-32)^2 - 4(5)(51) = 1024 - 1020 = 4.
x = (32 ± sqrt(4)) / 10 = (32 ± 2) / 10.
x1 = 34/10 = 3.4.
x2 = 30/10 = 3.
Jika x=3, y = 2(3) - 12 = 6 - 12 = -6. P = (3, -6).
Jika x=3.4, y = 2(3.4) - 12 = 6.8 - 12 = -5.2. P = (3.4, -5.2).

Mari kita pertimbangkan kembali titik O(-2,2), Q(5,-2), R(-4,-2). Sisi QR adalah horizontal. Agar menjadi trapesium sama kaki, kita bisa membuat alas sejajar lainnya simetris terhadap sumbu simetri.

Jika QR adalah alas bawah, maka alas atas OP harus horizontal di y=2. Titik O adalah (-2,2). Agar simetris, titik P harus memiliki x yang sama jaraknya dari sumbu simetri seperti O, relatif terhadap panjang alas QR.
Panjang QR = 5 - (-4) = 9.
Titik tengah QR adalah ((-4+5)/2, -2) = (0.5, -2).
Jika alas atas OP sejajar QR, maka P=(x,2).
Sumbu simetri akan tegak lurus dengan alas dan melalui titik tengah alas. Jika sumbu simetri melalui (0.5, y), maka P harus berada pada jarak yang sama dari x=0.5 seperti O.
O memiliki x=-2. Jarak O dari x=0.5 adalah |-2 - 0.5| = |-2.5| = 2.5.
Maka P harus memiliki x = 0.5 + 2.5 = 3.
P = (3, 2).

Dengan P=(3,2), O=(-2,2), Q=(5,-2), R=(-4,-2).
Alas sejajar: OP (y=2) dan QR (y=-2).
Sisi non-paralel: OQ dan PR.
Panjang OQ = sqrt((5-(-2))^2 + (-2-2)^2) = sqrt(7^2 + (-4)^2) = sqrt(49+16) = sqrt(65).
Panjang PR = sqrt((-4-3)^2 + (-2-2)^2) = sqrt((-7)^2 + (-4)^2) = sqrt(49+16) = sqrt(65).
Karena sisi non-paralel sama panjang, maka ini adalah trapesium sama kaki.

Jadi, jika titik yang dicari adalah P, maka P=(3,2).
Jika soal menanyakan titik K, dan P=(3,2), maka koordinat K bisa jadi merujuk pada P.
Namun, jika K adalah titik yang membentuk trapesium dengan O,Q,R sebagai tiga titik sudut lainnya, maka ada beberapa kemungkinan.

Jika OPQR adalah urutan titik sudut, dan kita menemukan P=(3,2).
Kita perlu mencocokkan dengan pilihan yang diberikan:
a. (2,3)
b. (-2,3)
c. (3,2)
d. (-3,-2)

Pilihan c. (3,2) cocok dengan perhitungan kita untuk titik P yang melengkapi trapesium sama kaki dengan alas sejajar OP dan QR.

Asumsi soal menanyakan koordinat titik P.
O(-2,2), Q(5,-2), R(-4,-2).
QR horizontal.
Jika OP sejajar QR, P=(x,2).
Agar sama kaki, perlu simetri. Titik tengah QR = (0.5, -2).
Titik O(-2,2). Jarak x O dari sumbu simetri x=0.5 adalah |-2-0.5|=2.5.
Maka x P = 0.5 + 2.5 = 3.
P=(3,2).

Jadi, koordinat K (mengacu pada P) adalah (3,2).