Jika vektor OA=(1 2)^t, vektor OB=(4 2)^t, dan theta=sudut

Nilai sin theta adalah 3/5.

Pembahasan

Diketahui vektor OA = (1, 2)^t dan vektor OB = (4, 2)^t.
Misalkan theta adalah sudut antara vektor OA dan OB.
Kita perlu mencari nilai sin theta.

Rumus dot product (hasil kali titik) antara dua vektor adalah:
OA · OB = |OA| |OB| cos theta

Langkah 1: Hitung dot product OA · OB.
OA · OB = (1 * 4) + (2 * 2)
OA · OB = 4 + 4
OA · OB = 8

Langkah 2: Hitung magnitudo (panjang) dari vektor OA dan OB.
|OA| = sqrt(1^2 + 2^2)
|OA| = sqrt(1 + 4)
|OA| = sqrt(5)

|OB| = sqrt(4^2 + 2^2)
|OB| = sqrt(16 + 4)
|OB| = sqrt(20)
|OB| = sqrt(4 * 5)
|OB| = 2 * sqrt(5)

Langkah 3: Gunakan rumus dot product untuk mencari cos theta.
8 = sqrt(5) * (2 * sqrt(5)) * cos theta
8 = (2 * 5) * cos theta
8 = 10 * cos theta
cos theta = 8 / 10
cos theta = 4 / 5

Langkah 4: Cari sin theta menggunakan identitas trigonometri sin^2 theta + cos^2 theta = 1.
Karena theta adalah sudut antara dua vektor, maka 0 <= theta <= 180 derajat, sehingga sin theta akan positif.
sin^2 theta = 1 - cos^2 theta
sin^2 theta = 1 - (4/5)^2
sin^2 theta = 1 - 16/25
sin^2 theta = (25 - 16) / 25
sin^2 theta = 9 / 25

sin theta = sqrt(9 / 25)
sin theta = 3 / 5

Jadi, nilai dari sin theta adalah 3/5.