Dua lingkaran berpusat di titik P dan titik Q saling

Segitiga PSQ sebangun dengan segitiga PRQ berdasarkan kriteria SSS karena PS=PR, SQ=RQ, dan PQ adalah sisi bersama.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa segitiga PSQ sebangun dengan segitiga PRQ, kita perlu menunjukkan bahwa ada korespondensi satu-satu antara sudut-sudut yang bersesuaian sama besar atau sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama.

Diketahui:
- Dua lingkaran berpusat di P dan Q.
- Kedua lingkaran berpotongan di R dan S.

Kita perlu membuktikan: Segitiga PSQ sebangun dengan Segitiga PRQ (ΔPSQ ~ ΔPRQ).

Dalam geometri, jika dua lingkaran berpotongan, garis yang menghubungkan titik-titik potong (RS) adalah sumbu radikal dari kedua lingkaran tersebut. Sumbu radikal tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan pusat kedua lingkaran (PQ).

Mari kita tinjau sifat-sifat yang relevan:
1.  **Garis Sumbu Tali Busur:** Garis yang menghubungkan pusat lingkaran ke titik tengah tali busur adalah tegak lurus terhadap tali busur tersebut. Dalam kasus ini, PQ adalah garis yang menghubungkan pusat kedua lingkaran. RS adalah tali busur persekutuan.
2.  **Sifat Tali Busur Persekutuan:** Garis yang menghubungkan pusat dua lingkaran (PQ) memotong tegak lurus sumbu radikal (RS) di titik tengahnya.
3.  **Segitiga Sama Kaki:** Jari-jari dari pusat lingkaran ke titik pada lingkaran adalah sama. Dalam lingkaran berpusat P, PR = PS (keduanya adalah jari-jari). Dalam lingkaran berpusat Q, QR = QS (keduanya adalah jari-jari).

Mari kita fokus pada segitiga PRQ dan PSQ:
- Segitiga PRQ memiliki sisi PR, RQ, dan PQ.
- Segitiga PSQ memiliki sisi PS, SQ, dan PQ.

Kita tahu bahwa:
- PR = PS (jari-jari lingkaran P)
- QR = QS (jari-jari lingkaran Q)

Perhatikan segitiga PRS. Karena PR = PS, segitiga PRS adalah segitiga sama kaki. Garis PQ memotong RS. Misalkan titik potongnya adalah M.

Karena PR = PS, M adalah titik tengah RS dan PM tegak lurus RS.
Karena QR = QS, segitiga QRS adalah segitiga sama kaki. Garis PQ memotong RS. M adalah titik tengah RS dan QM tegak lurus RS.

Jadi, PM ⊥ RS dan QM ⊥ RS. Ini berarti P, M, dan Q terletak pada satu garis lurus (garis PQ).

Sekarang, mari kita lihat segitiga PSQ dan PRQ:
- Sisi PQ adalah sisi bersama (common side) untuk kedua segitiga.
- PS = PR (jari-jari lingkaran P)
- SQ = RQ (jari-jari lingkaran Q)

Dengan menggunakan kriteria kesebangunan SSS (Sisi-Sisi-Sisi):
Jika ketiga sisi dari satu segitiga sebanding dengan ketiga sisi dari segitiga lain, maka kedua segitiga tersebut sebangun.

Dalam kasus ini, kita memiliki:
- PS = PR
- SQ = RQ
- PQ = PQ

Karena ketiga sisi dari ΔPSQ sama dengan ketiga sisi dari ΔPRQ secara berpasangan (PS=PR, SQ=RQ, PQ=PQ), maka kedua segitiga tersebut identik, yang berarti mereka juga sebangun.

**Bukti Menggunakan Sisi-Sisi-Sisi (SSS):**
Dalam ΔPSQ dan ΔPRQ:
1.  PS = PR (karena keduanya adalah jari-jari lingkaran dengan pusat P)
2.  SQ = RQ (karena keduanya adalah jari-jari lingkaran dengan pusat Q)
3.  PQ = PQ (sisi yang sama/common side)

Karena ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang, maka menurut kriteria kesebangunan SSS, Segitiga PSQ kongruen dengan Segitiga PRQ (ΔPSQ ≅ ΔPRQ).

Jika dua segitiga kongruen, maka mereka juga sebangun.

**Kesimpulan:**
Berdasarkan kriteria kesebangunan SSS, segitiga PSQ sebangun dengan segitiga PRQ karena ketiga sisi yang bersesuaian memiliki panjang yang sama (PS=PR, SQ=RQ, PQ=PQ).

**Jawaban Ringkas:**
Segitiga PSQ sebangun dengan segitiga PRQ berdasarkan kriteria kesebangunan SSS karena PS = PR (jari-jari lingkaran P), SQ = RQ (jari-jari lingkaran Q), dan PQ adalah sisi bersama.