Buktikan bahwa sigma i=1 n i^2=1/6 n(n+1)(2n+1)

Identitas terbukti benar menggunakan induksi matematika dengan basis induksi (n=1) dan langkah induksi.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ menggunakan induksi matematika, kita akan mengikuti dua langkah utama: Basis Induksi dan Langkah Induksi.

**Langkah 1: Basis Induksi (n=1)**
Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk kasus terkecil, yaitu n=1.
Sisi kiri (Left Hand Side - LHS): $\sum_{i=1}^{1} i^2 = 1^2 = 1$
Sisi kanan (Right Hand Side - RHS): $\frac{1}{6}(1)(1+1)(2(1)+1) = \frac{1}{6}(1)(2)(3) = \frac{6}{6} = 1$
Karena LHS = RHS (1 = 1), pernyataan tersebut benar untuk n=1.

**Langkah 2: Langkah Induksi**
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k (Hipotesis Induksi). Artinya, kita asumsikan:
$$ \sum_{i=1}^{k} i^2 = \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1) $$ (Hipotesis Induksi)

Selanjutnya, kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa:
$$ \sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \frac{1}{6}(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1) $$ 
$$ \sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3) $$ 

Sekarang, mari kita mulai dengan sisi kiri dari pernyataan untuk n = k+1 dan gunakan Hipotesis Induksi:
$$ \sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \left( \sum_{i=1}^{k} i^2 \right) + (k+1)^2 $$ 

Gunakan Hipotesis Induksi untuk mengganti $\sum_{i=1}^{k} i^2$:
$$ = \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2 $$ 

Sekarang, faktorkan $(k+1)$:
$$ = (k+1) \left[ \frac{1}{6}k(2k+1) + (k+1) \right] $$ 

Samakan penyebut di dalam kurung siku:
$$ = (k+1) \left[ \frac{k(2k+1) + 6(k+1)}{6} \right] $$ 

Distribusikan dan sederhanakan di dalam kurung siku:
$$ = (k+1) \left[ \frac{2k^2 + k + 6k + 6}{6} \right] $$ 
$$ = (k+1) \left[ \frac{2k^2 + 7k + 6}{6} \right] $$ 

Sekarang, faktorkan ekspresi kuadrat $2k^2 + 7k + 6$. Kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya $2 	imes 6 = 12$ dan jumlahnya 7. Bilangan tersebut adalah 3 dan 4.
$2k^2 + 7k + 6 = 2k^2 + 3k + 4k + 6$
$= k(2k+3) + 2(2k+3)$
$= (k+2)(2k+3)$

Substitusikan kembali faktor-faktor ini ke dalam ekspresi:
$$ = (k+1) \left[ \frac{(k+2)(2k+3)}{6} \right] $$ 
$$ = \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3) $$ 

Ini sama persis dengan sisi kanan dari pernyataan yang ingin kita buktikan untuk n = k+1.

**Kesimpulan**
Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 (Basis Induksi) dan jika pernyataan tersebut benar untuk n=k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1 (Langkah Induksi), maka berdasarkan prinsip induksi matematika, identitas $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ terbukti benar untuk semua bilangan bulat positif n.