Jika x=(1/2)((2020^(1/2000))-(2020^(-1/2000))), maka nilai

2020

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, pertama kita perlu memahami bentuk dari x. Diketahui x = (1/2)((2020^(1/2000)) - (2020^(-1/2000))). Bentuk ini menyerupai definisi fungsi sinh(z) = (e^z - e^-z)/2. Jika kita misalkan 2020^(1/2000) = e^z, maka x = (1/2)(e^z - 1/e^z). Namun, ini tidak langsung sama dengan sinh(z). Mari kita ubah sedikit bentuk x. Misalkan a = 2020^(1/2000). Maka x = (1/2)(a - 1/a). Kita perlu mencari nilai dari (akar(x^2+1)-x)^(-2000). Mari kita hitung x^2+1. x^2 = (1/4)(a^2 - 2 + 1/a^2). Maka x^2+1 = (1/4)(a^2 - 2 + 1/a^2) + 1 = (1/4)(a^2 - 2 + 1/a^2 + 4) = (1/4)(a^2 + 2 + 1/a^2) = (1/4)(a + 1/a)^2. Jadi, akar(x^2+1) = akar((1/4)(a + 1/a)^2) = (1/2)|a + 1/a|. Karena a = 2020^(1/2000) adalah bilangan positif, maka a + 1/a juga positif. Sehingga akar(x^2+1) = (1/2)(a + 1/a). Sekarang kita hitung akar(x^2+1) - x = (1/2)(a + 1/a) - (1/2)(a - 1/a) = (1/2)(a + 1/a - a + 1/a) = (1/2)(2/a) = 1/a. Maka (akar(x^2+1)-x)^(-2000) = (1/a)^(-2000) = a^2000. Karena a = 2020^(1/2000), maka a^2000 = (2020^(1/2000))^2000 = 2020. Jadi, nilai dari (akar(x^2+1)-x)^(-2000) adalah 2020.