Jika x^4+ax^3+(b-14)x^2+28x-15=f(x)(x-1) dengan f(x) habis

Nilai a adalah -4.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan x^4 + ax^3 + (b-14)x^2 + 28x - 15 = f(x)(x-1), dan diketahui bahwa f(x) habis dibagi (x-1). Ini berarti (x-1) adalah faktor dari f(x), dan juga berarti bahwa jika kita substitusikan x=1 ke dalam f(x), hasilnya adalah 0, yaitu f(1)=0.

Karena x^4 + ax^3 + (b-14)x^2 + 28x - 15 = f(x)(x-1), ini berarti (x-1) adalah faktor dari polinomial di sisi kiri. Oleh karena itu, jika kita substitusikan x=1 ke dalam polinomial di sisi kiri, hasilnya harus 0 (berdasarkan Teorema Faktor).

Substitusikan x=1 ke dalam polinomial:
(1)^4 + a(1)^3 + (b-14)(1)^2 + 28(1) - 15 = 0
1 + a + (b-14) + 28 - 15 = 0
1 + a + b - 14 + 28 - 15 = 0
a + b + 0 = 0
a + b = 0

Informasi tambahan bahwa f(x) habis dibagi (x-1) berarti f(x) dapat ditulis sebagai (x-1) * g(x) untuk suatu polinomial g(x). Maka, x^4 + ax^3 + (b-14)x^2 + 28x - 15 = (x-1) * f(x) = (x-1) * (x-1) * g(x) = (x-1)^2 * g(x).
Ini berarti x=1 adalah akar ganda dari polinomial di sisi kiri.

Jika x=1 adalah akar ganda, maka turunan pertama dari polinomial tersebut juga harus bernilai 0 saat x=1.
Misalkan P(x) = x^4 + ax^3 + (b-14)x^2 + 28x - 15.
Maka P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2(b-14)x + 28.
Substitusikan x=1 ke dalam P'(x):
4(1)^3 + 3a(1)^2 + 2(b-14)(1) + 28 = 0
4 + 3a + 2b - 28 + 28 = 0
4 + 3a + 2b = 0
3a + 2b = -4

Kita sekarang memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel:
1) a + b = 0  => b = -a
2) 3a + 2b = -4

Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2):
3a + 2(-a) = -4
3a - 2a = -4
a = -4

Jadi, nilai a adalah -4.