Jika (x, y) memenuhi sistem persamaan { 3x^2 + 2xy - y^2 =

14

Pembahasan

Untuk mencari jumlah semua nilai y yang memenuhi sistem persamaan:
{ 3x^2 + 2xy - y^2 = 0    (1)
{ 4x^2 + xy - y^2 + 10x - 12 = 0    (2)
Persamaan (1) adalah persamaan homogen. Kita bisa faktorkan atau substitusi.
Dari persamaan (1), kita bisa faktorkan sebagai:
(3x - y)(x + y) = 0
Ini memberikan dua kemungkinan:
Kasus A: 3x - y = 0  => y = 3x
Kasus B: x + y = 0  => y = -x
Sekarang kita substitusikan kedua kasus ini ke dalam persamaan (2).

Substitusi Kasus A (y = 3x) ke persamaan (2):
4x^2 + x(3x) - (3x)^2 + 10x - 12 = 0
4x^2 + 3x^2 - 9x^2 + 10x - 12 = 0
-2x^2 + 10x - 12 = 0
Bagi dengan -2:
x^2 - 5x + 6 = 0
Faktorkan:
(x - 2)(x - 3) = 0
Jadi, x = 2 atau x = 3.
Jika x = 2, maka y = 3x = 3(2) = 6.
Jika x = 3, maka y = 3x = 3(3) = 9.

Substitusi Kasus B (y = -x) ke persamaan (2):
4x^2 + x(-x) - (-x)^2 + 10x - 12 = 0
4x^2 - x^2 - x^2 + 10x - 12 = 0
2x^2 + 10x - 12 = 0
Bagi dengan 2:
x^2 + 5x - 6 = 0
Faktorkan:
(x + 6)(x - 1) = 0
Jadi, x = -6 atau x = 1.
Jika x = -6, maka y = -x = -(-6) = 6.
Jika x = 1, maka y = -x = -(1) = -1.

Nilai-nilai y yang memenuhi adalah 6, 9, 6, -1.
Jumlah semua nilai y adalah 6 + 9 + 6 + (-1) = 20.
Namun, perlu diperiksa apakah nilai-nilai x dan y yang ditemukan benar-benar memenuhi kedua persamaan. Dalam konteks soal ini, kita diasumsikan bahwa solusi yang ditemukan valid.

Mari kita cek ulang perhitungan. Ada nilai y = 6 muncul dua kali, ini valid.

Jadi, nilai-nilai y yang mungkin adalah 6, 9, dan -1.
Jumlah semua nilai y = 6 + 9 + (-1) = 14.

Namun, mari kita telaah kembali soal ini, karena ada kemungkinan terjadi kesalahan dalam interpretasi atau perhitungan manual.

Jika ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban, ini bisa menjadi sumber kebingungan.
Namun, berdasarkan perhitungan di atas, jumlah semua nilai y adalah 14.