Nilai lim x->0 akar(4x)/akar(sin 2x) adalah

Nilai limitnya adalah √2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan L'Hôpital's Rule karena jika kita substitusikan x=0 secara langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit: lim x->0 √(4x) / √(sin 2x)

Bentuk limit adalah lim x->0 (2√x) / √(sin 2x)

Kita dapat menulis ulang sebagai:
lim x->0 2 * √x * (sin 2x)^(-1/2)

Ini masih sulit diturunkan secara langsung menggunakan L'Hopital's Rule karena akan melibatkan turunan dari akar.

Cara lain adalah dengan manipulasi aljabar dan menggunakan limit standar:
lim x->0 √(4x) / √(sin 2x) = lim x->0 2√x / √(sin 2x)

Kalikan pembilang dan penyebut dengan √(sin 2x) / √(sin 2x):
= lim x->0 (2√x * √(sin 2x)) / (sin 2x)

Ini juga tidak menyederhanakan.

Mari kita coba cara lain:
lim x->0 √(4x) / √(sin 2x)
Kuadratkan pembilang dan penyebut:
lim x->0 (4x) / (sin 2x)

Sekarang, kita bisa menggunakan L'Hopital's Rule. Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan pembilang (4x) adalah 4.
Turunan penyebut (sin 2x) adalah 2cos(2x).

Jadi, limitnya menjadi:
lim x->0 4 / (2cos(2x))

Substitusikan x = 0:
= 4 / (2cos(0))
= 4 / (2 * 1)
= 4 / 2
= 2

Namun, perlu diingat bahwa kita mengkuadratkan ekspresi di awal. Mari kita kembali ke ekspresi asli dan menggunakan substitusi atau identitas trigonometri.

lim x->0 √(4x) / √(sin 2x)
Kita tahu bahwa lim x->0 sin(ax)/ax = 1.
Kita bisa memanipulasi ekspresi:
lim x->0 √(4x) / √(sin 2x) = lim x->0 (√4 * √x) / √(sin 2x)
= lim x->0 2√x / √(sin 2x)

Kalikan pembilang dan penyebut dengan √(2x) / √(2x):
= lim x->0 (2√x * √(2x)) / (√(sin 2x) * √(2x))
= lim x->0 (2√(2x²)) / √(sin 2x * 2x)
= lim x->0 (2x√2) / √(2x * sin 2x / 2x)

Ini menjadi rumit.

Mari gunakan identitas sin(2x) = 2sin(x)cos(x) dan bahwa untuk x mendekati 0, sin(x) ≈ x.
lim x->0 √(4x) / √(sin 2x)
= lim x->0 2√x / √(sin 2x)

Kita tahu lim x->0 sin(2x)/(2x) = 1, jadi sin(2x) ≈ 2x untuk x dekat 0.

lim x->0 2√x / √(2x)
= lim x->0 2√x / (√2 * √x)
= lim x->0 2 / √2
= √2

Mari kita coba lagi dengan L'Hopital's Rule pada bentuk yang benar:
lim x->0 √(4x) / √(sin 2x)
Ini adalah bentuk 0/0.
Turunan dari √(4x) = d/dx (2x^(1/2)) = 2 * (1/2) * x^(-1/2) = 1/√x
Turunan dari √(sin 2x) = d/dx (sin(2x))^(1/2) = (1/2) * (sin(2x))^(-1/2) * (2cos(2x)) = cos(2x) / √(sin 2x)

Jadi, turunannya adalah:
lim x->0 (1/√x) / (cos(2x) / √(sin 2x))
= lim x->0 (1/√x) * (√(sin 2x) / cos(2x))
= lim x->0 √(sin 2x) / (√x * cos(2x))

Ini masih tidak menyederhanakan dengan mudah.

Mari kita kembali ke ide mengkuadratkan, tetapi dengan hati-hati.
Kita ingin menghitung L = lim x->0 √(4x) / √(sin 2x).
Perhatikan bahwa L harus non-negatif.
L² = lim x->0 (4x) / (sin 2x).
Sekarang kita terapkan L'Hopital's Rule pada L²:
L² = lim x->0 (turunan dari 4x) / (turunan dari sin 2x)
L² = lim x->0 4 / (2cos(2x))
Substitusikan x = 0:
L² = 4 / (2cos(0)) = 4 / (2*1) = 2.
Karena L² = 2, dan L harus non-negatif, maka L = √2.

Jadi, nilai lim x->0 √(4x) / √(sin 2x) adalah √2.