Jumlah dari semua nilai sin x di mana 0<x<180 yang memenuhi

$1 + \frac{1}{\sqrt{10}}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai-nilai x dalam rentang 0 < x < 180 derajat yang memenuhi persamaan $\cos^2x - 3\sin x\cos x + 2\sin^2x = 2$. Persamaan ini dapat disederhanakan dengan mengganti 2 dengan $2(\sin^2x + \cos^2x)$.

$\\cos^2x - 3\sin x\cos x + 2\sin^2x = 2(\sin^2x + \cos^2x)$
$\\cos^2x - 3\sin x\cos x + 2\sin^2x = 2\sin^2x + 2\cos^2x$

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
$0 = (2\sin^2x - 2\sin^2x) + (2\cos^2x - \cos^2x) + 3\sin x\cos x$
$0 = \cos^2x + 3\sin x\cos x$

Faktorkan $\cos x$:
$0 = \cos x (\cos x + 3\sin x)$

Ini memberikan dua kemungkinan:
1. $\cos x = 0$
   Dalam rentang 0 < x < 180 derajat, $\cos x = 0$ ketika $x = 90$ derajat.
   Nilai $\sin 90$ derajat adalah 1.

2. $\cos x + 3\sin x = 0$
   Bagi kedua sisi dengan $\cos x$ (dengan asumsi $\cos x \neq 0$, yang sudah kita tangani di kasus pertama):
   $1 + 3\frac{\sin x}{\cos x} = 0$
   $1 + 3\tan x = 0$
   $3\tan x = -1$
   $\tan x = -1/3$

   Karena $\tan x$ negatif, x berada di kuadran kedua (karena kita berada di rentang 0 < x < 180 derajat). Jika $\tan x = -1/3$, kita bisa membentuk segitiga siku-siku di mana sisi berlawanan adalah 1 dan sisi yang berdekatan adalah 3. Sisi miringnya adalah $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
   Nilai $\sin x$ di kuadran kedua adalah positif. Jadi, $\sin x = \frac{opposite}{hypotenuse} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Nilai-nilai sin x yang memenuhi adalah $\sin 90^\circ = 1$ dan $\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}}$ (untuk sudut di kuadran kedua di mana $\tan x = -1/3$).

Jumlah dari semua nilai sin x adalah $1 + \frac{1}{\sqrt{10}}$.