Jumlah dua bilangan p dan q adalah 6. Nilai minimum dari

24

Pembahasan

Misalkan kedua bilangan tersebut adalah p dan q.
Diketahui:
p + q = 6

Kita ingin mencari nilai minimum dari fungsi:
f(p, q) = 2p^2 + q^2

Dari persamaan p + q = 6, kita bisa substitusikan q = 6 - p ke dalam fungsi yang ingin diminimalkan:
f(p) = 2p^2 + (6 - p)^2
f(p) = 2p^2 + (36 - 12p + p^2)
f(p) = 3p^2 - 12p + 36

Ini adalah fungsi kuadrat dalam bentuk ap^2 + bp + c, dengan a = 3, b = -12, dan c = 36.
Karena koefisien dari p^2 (yaitu a=3) positif, maka parabola terbuka ke atas, yang berarti memiliki nilai minimum.

Nilai minimum terjadi pada puncak parabola. Absis puncak (nilai p) dapat dicari dengan rumus: p = -b / 2a
p = -(-12) / (2 * 3)
p = 12 / 6
p = 2

Ketika p = 2, maka q = 6 - p = 6 - 2 = 4.

Sekarang kita substitusikan nilai p = 2 ke dalam fungsi f(p) untuk mencari nilai minimumnya:
f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 36
f(2) = 3(4) - 24 + 36
f(2) = 12 - 24 + 36
f(2) = -12 + 36
f(2) = 24

Atau dengan substitusi langsung ke 2p^2 + q^2:
2(2)^2 + (4)^2 = 2(4) + 16 = 8 + 16 = 24.

Jadi, nilai minimum dari 2p^2 + q^2 adalah 24.