Jumlah semua akar persamaan

1

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah: 10(x² - x - 12)^(log(x² - x - 12)) = (x - 4)²(x + 3)²

Pertama, kita faktorkan ekspresi (x² - x - 12). Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -12 dan jika dijumlahkan menghasilkan -1. Bilangan tersebut adalah -4 dan 3.
Jadi, x² - x - 12 = (x - 4)(x + 3).

Persamaan menjadi: 10((x - 4)(x + 3))^(log((x - 4)(x + 3))) = (x - 4)²(x + 3)²

Agar logaritma terdefinisi, basisnya harus positif dan tidak sama dengan 1. Asumsikan basis logaritma adalah 10 (logaritma umum).
Agar argumen logaritma terdefinisi, (x - 4)(x + 3) > 0.
Ini terjadi ketika x < -3 atau x > 4.

Selanjutnya, mari kita ubah bentuk persamaan:
10 * [(x - 4)(x + 3)]^[log((x - 4)(x + 3))] = [(x - 4)(x + 3)]²

Misalkan A = (x - 4)(x + 3) dan B = log(A).
Persamaan menjadi: 10 * A^B = A²

Kita tahu bahwa A^B = A^(log(A)). Jika basis logaritma adalah 10, maka A^(log10(A)) = 10^(log10(A^log10(A))) = 10^(log10(A)*log10(A)) = 10^((log10(A))²).
Ini tampaknya terlalu rumit. Mari kita coba pendekatan lain.

Perhatikan bahwa jika A = 10, maka 10 * 10^(log(10)) = 10 * 10¹ = 100, dan A² = 10² = 100. Jadi, A = 10 adalah solusi.
Jika A = 10, maka (x - 4)(x + 3) = 10.
x² + 3x - 4x - 12 = 10
x² - x - 12 = 10
x² - x - 22 = 0

Diskriminan = (-1)² - 4(1)(-22) = 1 + 88 = 89. Akar-akarnya adalah (1 ± √89) / 2. Kedua akar ini memenuhi x < -3 atau x > 4.

Namun, ada kemungkinan lain. Perhatikan bentuk A^B = A².
Jika basisnya sama, maka kita bisa menyamakan eksponennya, tetapi di sini ada koefisien 10.

Mari kita ambil logaritma basis 10 dari kedua sisi:
log[10 * (x² - x - 12)^(log(x² - x - 12))] = log[(x - 4)²(x + 3)²]
log(10) + log[(x² - x - 12)^(log(x² - x - 12))] = 2 * log[(x - 4)(x + 3)]
1 + log(x² - x - 12) * log(x² - x - 12) = 2 * log[(x - 4)(x + 3)]
1 + [log(x² - x - 12)]² = 2 * log(x² - x - 12)

Misalkan y = log(x² - x - 12).
Maka persamaannya menjadi:
1 + y² = 2y
y² - 2y + 1 = 0
(y - 1)² = 0
y = 1

Jadi, log(x² - x - 12) = 1.
Ini berarti x² - x - 12 = 10¹
x² - x - 12 = 10
x² - x - 22 = 0

Akar-akar dari persamaan kuadrat ini adalah:
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
x = [1 ± √((-1)² - 4(1)(-22))] / 2(1)
x = [1 ± √(1 + 88)] / 2
x = [1 ± √89] / 2

Akar-akarnya adalah x₁ = (1 + √89) / 2 dan x₂ = (1 - √89) / 2.
Kita perlu memeriksa apakah akar-akar ini memenuhi syarat (x - 4)(x + 3) > 0.
√89 kira-kira 9.43.
x₁ ≈ (1 + 9.43) / 2 = 10.43 / 2 = 5.215. Ini memenuhi x > 4.
x₂ ≈ (1 - 9.43) / 2 = -8.43 / 2 = -4.215. Ini memenuhi x < -3.

Jadi, kedua akar ini valid.

Namun, mari kita periksa kembali soal aslinya. Kemungkinan ada kesalahan dalam interpretasi atau soalnya sendiri.

Jika kita asumsikan soalnya adalah:
(x² - x - 12)^(log(x² - x - 12)) = (x - 4)²(x + 3)²

Maka kita dapatkan log(x² - x - 12) = 2.
Jadi, x² - x - 12 = 10² = 100.
x² - x - 112 = 0.
Diskriminan = (-1)² - 4(1)(-112) = 1 + 448 = 449.
x = (1 ± √449) / 2. Ini juga valid.

Mari kita kembali ke soal asli: 10(x² - x - 12)^(log(x² - x - 12)) = (x - 4)²(x + 3)²
10 * [(x-4)(x+3)]^[log((x-4)(x+3))] = [(x-4)(x+3)]²

Misalkan A = (x-4)(x+3).
10 * A^[log(A)] = A²

Kita sudah menemukan solusi ketika A = 10, yaitu x = (1 ± √89) / 2.

Apakah ada solusi lain?
Jika A = 1, maka 10 * 1^[log(1)] = 10 * 1⁰ = 10 * 1 = 10. Sedangkan A² = 1² = 1. Jadi A=1 bukan solusi.

Jika A ≠ 0, kita bisa membagi kedua sisi dengan A:
10 * A^[log(A) - 1] = A

Jika A = 10^(1/log(A)), ini akan menjadi rumit.

Mari kita perhatikan kembali persamaan:
1 + [log(x² - x - 12)]² = 2 * log(x² - x - 12)
Ini mengarah pada log(x² - x - 12) = 1, yang memberikan x = (1 ± √89) / 2.

Apakah ada kemungkinan lain jika basis logaritma bukan 10?
Jika basisnya 'b', maka 1 + [log_b(A)]² = 2 * log_b(A). Solusinya tetap log_b(A) = 1, yang berarti A = b.
Jadi, (x - 4)(x + 3) = b.
x² - x - 12 = b.

Namun, basis logaritma biasanya diasumsikan 10 atau e jika tidak disebutkan.

Mari kita cek soalnya lagi. Kemungkinan ada trik lain atau kesalahan pengetikan.

Jika kita melihat sisi kanan: (x - 4)²(x + 3)² = [(x - 4)(x + 3)]² = (x² - x - 12)².

Jadi, persamaan menjadi: 10 * (x² - x - 12)^(log(x² - x - 12)) = (x² - x - 12)².

Sekali lagi, misalkan A = x² - x - 12 dan y = log(A) (dengan asumsi basis 10).
10 * A^y = A².

Jika A > 0 dan A ≠ 1.
Kita sudah melihat bahwa jika y = 1, maka A = 10. Ini memberikan solusi.

Bagaimana jika A = 10^k untuk suatu k?
10 * (10^k)^y = (10^k)²
10 * 10^(ky) = 10^(2k)
10^(1 + ky) = 10^(2k)
1 + ky = 2k
1 = 2k - ky
1 = k(2 - y)

Kita tahu y = log(A) = log(10^k) = k * log(10) = k (jika basisnya 10).
Jadi, 1 = k(2 - k).
k² - 2k + 1 = 0
(k - 1)² = 0
k = 1.

Jika k = 1, maka A = 10¹ = 10.
Ini mengkonfirmasi bahwa A = 10 adalah satu-satunya solusi.

Jadi, x² - x - 12 = 10.
x² - x - 22 = 0.

Akar-akarnya adalah x = (1 ± √89) / 2.

Jumlah semua akar adalah x₁ + x₂ = (1 + √89) / 2 + (1 - √89) / 2 = (1 + √89 + 1 - √89) / 2 = 2 / 2 = 1.

Jadi, jumlah semua akar persamaan tersebut adalah 1.