Jumlah tiga suku pertama barisan geometri adalah 112 dan

127.5

Pembahasan

Misalkan barisan geometri tersebut adalah $a, ar, ar^2, ...$, dengan $a$ sebagai suku pertama dan $r$ sebagai rasio. Diketahui bahwa jumlah tiga suku pertama adalah 112, sehingga $a + ar + ar^2 = 112$. Ini bisa ditulis sebagai $a(1+r+r^2) = 112$. Suku ketujuh adalah 1, yang berarti $ar^6 = 1$. Kita perlu mencari jumlah delapan suku pertama, yaitu $S_8 = \frac{a(r^8-1)}{r-1}$ (jika $r \neq 1$). Jika $r=1$, maka suku-sukunya sama, dan $3a=112$ serta $a=1$, yang kontradiktif. Jadi $r \neq 1$. Dari $ar^6=1$, kita dapatkan $a = \frac{1}{r^6}$. Substitusikan ini ke persamaan jumlah tiga suku pertama: $\frac{1}{r^6}(1+r+r^2) = 112$. Ini tidak mudah diselesaikan secara langsung. Mari kita coba pendekatan lain. Kita punya $S_3 = a(1+r+r^2)=112$ dan $U_7 = ar^6=1$. Kita bisa menulis $S_3 = \frac{a(r^3-1)}{r-1}=112$. Persamaan $ar^6=1$ dapat ditulis sebagai $a = 1/r^6$. Maka $S_8 = \frac{a(r^8-1)}{r-1} = \frac{a(r^6 
^2 - 1)}{r-1} = \frac{1 
^2 - 1}{r-1} \frac{a}{r^6} = \frac{a(r^2-1)}{r-1}$. Ini juga tidak membantu. Mari kita perhatikan kembali soalnya. Kemungkinan ada informasi yang perlu diturunkan dari hubungan antara suku-suku. Tanpa nilai $r$ atau $a$, sulit untuk langsung menghitung $S_8$. Namun, jika kita berasumsi ada kesalahan pengetikan pada soal atau ada informasi yang hilang, mari kita coba mencari pola yang mungkin. Jika kita dapat menemukan $a$ dan $r$, maka $S_8$ dapat dihitung. Misalkan kita coba beberapa nilai $r$ yang mungkin. Jika $r=2$, maka $a = 1/2^6 = 1/64$. $S_3 = \frac{1}{64}(1+2+4) = \frac{7}{64} \neq 112$. Jika $r=1/2$, maka $a = (1/2)^{-6} = 64$. $S_3 = 64(1 + 1/2 + 1/4) = 64(\frac{4+2+1}{4}) = 64(\frac{7}{4}) = 16 	imes 7 = 112$. Ini cocok! Jadi, $a=64$ dan $r=1/2$. Sekarang kita hitung $S_8$: $S_8 = \frac{a(1-r^8)}{1-r} = \frac{64(1-(1/2)^8)}{1-1/2} = \frac{64(1-1/256)}{1/2} = 128(1 - 1/256) = 128(\frac{256-1}{256}) = 128(\frac{255}{256}) = \frac{255}{2} = 127.5$.