Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Sudut antara

sin a = 1/3 akar(3)

Pembahasan

Untuk mencari sudut antara AE dan bidang AFH, kita perlu menggunakan konsep proyeksi garis pada bidang. Pertama, kita identifikasi vektor AE dan vektor normal bidang AFH. Bidang AFH dibentuk oleh vektor AF dan AH. Jika panjang rusuk kubus adalah 's' (dalam hal ini 4 cm), maka kita bisa menentukan komponen vektor AE, AF, dan AH. Vektor AE = (0, 0, s). Vektor AF = (s, s, 0). Vektor AH = (s, 0, s). Vektor normal bidang AFH dapat dicari dengan hasil kali silang AF x AH. AF x AH = | i  j  k |
                     | s  s  0 |
                     | s  0  s | = s^2 i - s^2 j + (-s^2) k = (s^2, -s^2, -s^2). Misalkan vektor normal bidang adalah n = (s^2, -s^2, -s^2). Sudut antara garis AE dan bidang AFH adalah sama dengan 90 derajat dikurangi sudut antara garis AE dan vektor normal bidang AFH. Misalkan sudut antara AE dan n adalah beta. cos(beta) = (AE . n) / (|AE| |n|). AE . n = (0)(s^2) + (0)(-s^2) + (s)(-s^2) = -s^3. |AE| = s. |n| = sqrt((s^2)^2 + (-s^2)^2 + (-s^2)^2) = sqrt(3s^4) = s^2 sqrt(3). cos(beta) = -s^3 / (s * s^2 sqrt(3)) = -1/sqrt(3). Karena kita mencari sudut 'a' antara garis dan bidang, sin(a) = cos(beta). Karena nilai cosinus negatif, sudut beta berada di kuadran II, namun sudut antara garis dan bidang selalu lancar (0-90 derajat). Jadi kita ambil nilai absolutnya. sin(a) = |-1/sqrt(3)| = 1/sqrt(3) = 1/3 akar(3).