Kubus ABCD.EFGH, memiliki panjang rusuk 8 cm. Titik K, L, M

2\(\sqrt{2}\) cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak antara bidang KLMN dan bidang BDHF pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, kita perlu memahami posisi kedua bidang tersebut.

Misalkan titik A berada pada koordinat (0,0,0).
Karena panjang rusuk kubus adalah 8 cm, maka:
- Titik B = (8,0,0)
- Titik C = (8,8,0)
- Titik D = (0,8,0)
- Titik E = (0,0,8)
- Titik F = (8,0,8)
- Titik G = (8,8,8)
- Titik H = (0,8,8)

Titik K, L, M, dan N berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB, EF, EH, AD.
- K (titik tengah AB) = (4,0,0)
- L (titik tengah EF) = (4,0,8)
- M (titik tengah EH) = (0,4,8)
- N (titik tengah AD) = (0,4,0)

Bidang KLMN terbentuk oleh titik-titik K(4,0,0), L(4,0,8), M(0,4,8), N(0,4,0). Bidang ini sejajar dengan bidang ADHE dan BCGF.

Bidang BDHF terbentuk oleh titik-titik B(8,0,0), D(0,8,0), H(0,8,8), F(8,0,8). Bidang ini adalah bidang diagonal kubus.

Kita perlu mencari jarak antara bidang KLMN dan bidang BDHF. Untuk mempermudah, kita bisa mencari jarak dari salah satu titik pada satu bidang ke bidang lainnya.

Bidang KLMN memiliki persamaan umum yang dapat dicari. Namun, kita bisa juga menggunakan pendekatan geometris.

Bidang KLMN merupakan persegi panjang dengan panjang rusuk KL = 8 dan KN = \(\sqrt{(4-0)^2 + (0-4)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\).

Bidang BDHF juga merupakan persegi panjang dengan panjang rusuk BD = \(8\sqrt{2}\) dan BF = 8.

Perhatikan bahwa bidang KLMN sejajar dengan bidang ADHE dan BCGF. Bidang BDHF memotong kedua bidang sejajar ini.

Jarak antara bidang KLMN dan bidang BDHF dapat dihitung sebagai jarak dari titik K ke bidang BDHF atau jarak dari titik L ke bidang BDHF.

Persamaan bidang BDHF dapat dicari. Normal vektor untuk bidang BDHF bisa didapatkan dari vektor BD dan BF.
BD = D - B = (0-8, 8-0, 0-0) = (-8, 8, 0)
BF = F - B = (8-8, 0-0, 8-0) = (0, 0, 8)

Normal vektor n = BD x BF = \(\begin{vmatrix} i & j & k \\ -8 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{vmatrix}\) = i(64-0) - j(-64-0) + k(0-0) = 64i + 64j = (64, 64, 0).
Kita bisa sederhanakan normal vektor menjadi (1, 1, 0).

Persamaan bidang BDHF yang melalui titik B(8,0,0) adalah 1(x-8) + 1(y-0) + 0(z-0) = 0  => x + y - 8 = 0.

Sekarang kita hitung jarak dari titik K(4,0,0) ke bidang x + y - 8 = 0.
Jarak = \(\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Jarak = \(\frac{|1(4) + 1(0) + 0(0) - 8|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}\)
Jarak = \(\frac{|4 - 8|}{\sqrt{2}}\)
Jarak = \(\frac{|-4|}{\sqrt{2}}\)
Jarak = \(\frac{4}{\sqrt{2}}\)
Jarak = \(\frac{4\sqrt{2}}{2}\)
Jarak = \(2\sqrt{2}\) cm.

Jawaban ringkas: 2\(\sqrt{2}\) cm