lim h->0 (sin(x+h)-sin x)/h

Hasil limitnya adalah cos x.

Pembahasan

Pertanyaan ini meminta untuk mengevaluasi limit dari fungsi (sin(x+h)-sin x)/h ketika h mendekati 0. Ini adalah definisi dari turunan fungsi sinus. Kita bisa menggunakan identitas trigonometri untuk jumlah sudut sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B.
Jadi, sin(x+h) = sin x cos h + cos x sin h.
Substitusikan ini ke dalam ekspresi limit:
lim h->0 (sin x cos h + cos x sin h - sin x) / h
Kelompokkan suku-suku yang memiliki sin x:
lim h->0 [(sin x cos h - sin x) + cos x sin h] / h
lim h->0 [sin x (cos h - 1) + cos x sin h] / h
Pisahkan limit menjadi dua bagian:
lim h->0 [sin x (cos h - 1) / h] + lim h->0 [cos x sin h / h]
Kita tahu bahwa:
1. lim h->0 (cos h - 1) / h = 0
2. lim h->0 sin h / h = 1

Maka, limitnya menjadi:
sin x * 0 + cos x * 1 = 0 + cos x = cos x.

Jadi, hasil dari lim h->0 (sin(x+h)-sin x)/h adalah cos x.