lim _(x -> 0) (2-cos 2 x-cos ^(2) 2 x)/(x^(2))=..

Nilai limitnya adalah 6.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

lim (2 - cos(2x) - cos^2(2x)) / x^2  sebagai x -> 0

Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:
Turunan pembilang: d/dx (2 - cos(2x) - cos^2(2x))
= 0 - (-sin(2x) * 2) - (2 * cos(2x) * (-sin(2x) * 2))
= 2sin(2x) + 4sin(2x)cos(2x)
= 2sin(2x) + 2sin(4x)

Turunan penyebut: d/dx (x^2) = 2x

Sekarang kita memiliki limit baru:
lim (2sin(2x) + 2sin(4x)) / 2x  sebagai x -> 0

Karena substitusi x = 0 masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita terapkan aturan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang baru: d/dx (2sin(2x) + 2sin(4x))
= 2(cos(2x) * 2) + 2(cos(4x) * 4)
= 4cos(2x) + 8cos(4x)

Turunan penyebut baru: d/dx (2x) = 2

Sekarang kita memiliki limit baru:
lim (4cos(2x) + 8cos(4x)) / 2  sebagai x -> 0

Substitusikan x = 0:
= (4cos(0) + 8cos(0)) / 2
= (4 * 1 + 8 * 1) / 2
= (4 + 8) / 2
= 12 / 2
= 6

Jadi, nilai limitnya adalah 6.