lim x->tak hingga ((tan(7/3x))/(tan(4/3x)))= ...

7/4

Pembahasan

Untuk mencari limit dari fungsi $\frac{\tan(7/3x)}{\tan(4/3x)}$ ketika $x$ mendekati tak hingga, kita dapat menggunakan sifat limit. Jika kita substitusikan $x = \infty$, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{\tan(\infty)}{\tan(\infty)}$.

Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena ini adalah bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ jika kita anggap variabelnya menuju 0 (dengan substitusi $y = 1/x$).

Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan identitas limit $\lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{u} = 1$.

Kita dapat menulis ulang fungsi tersebut:
$$ \frac{\tan(7/3x)}{\tan(4/3x)} = \frac{\frac{\tan(7/3x)}{7/3x} \cdot \frac{7}{3x}}{\frac{\tan(4/3x)}{4/3x} \cdot \frac{4}{3x}} $$ 
Ketika $x \to \infty$, maka $7/3x \to 0$ dan $4/3x \to 0$. 

Jadi, limitnya menjadi:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\tan(7/3x)}{7/3x} \cdot \frac{7}{3x}}{\frac{\tan(4/3x)}{4/3x} \cdot \frac{4}{3x}} = \frac{1 \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{7}{3x}}{1 \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{4}{3x}} $$ 
Karena $\lim_{x \to \infty} \frac{7}{3x} = 0$ dan $\lim_{x \to \infty} \frac{4}{3x} = 0$, bentuk ini masih $\frac{0}{0}$.

Mari kita gunakan pendekatan lain. Kita tahu bahwa $\tan(u) \approx u$ untuk $u$ yang sangat kecil. Ketika $x \to \infty$, $7/3x$ dan $4/3x$ menjadi sangat kecil.

Jadi, kita bisa mengganti $\tan(7/3x)$ dengan $7/3x$ dan $\tan(4/3x)$ dengan $4/3x$ untuk $x \to \infty$.

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\tan(7/3x)}{\tan(4/3x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{7/3x}{4/3x} $$ 
$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{7/3}{4/3} $$ 
$$ = \frac{7/3}{4/3} = \frac{7}{4} $$ 

Hasilnya adalah 7/4.