Diketahui persegi ABCD mempunyai panjang sisi 6a

1

Pembahasan

Persegi ABCD memiliki panjang sisi 6a. Diagonalnya berpotongan di O. Titik P pada diagonal AC dengan perbandingan OP:PC=1:2. Untuk menentukan nilai sin sudut PBO:
1. Cari panjang diagonal AC. Karena ini persegi, AC = sisi * sqrt(2) = 6a * sqrt(2).
2. Cari panjang AO dan OC. AO = OC = AC/2 = 3a * sqrt(2).
3. Cari panjang OP. OP = (1/(1+2)) * OC = (1/3) * 3a * sqrt(2) = a * sqrt(2).
4. Cari panjang PC. PC = (2/(1+2)) * OC = (2/3) * 3a * sqrt(2) = 2a * sqrt(2).
5. Cari panjang BO. BO = AO = 3a * sqrt(2).
6. Gunakan aturan kosinus pada segitiga PBO untuk mencari cos sudut PBO. PB^2 = OP^2 + BO^2 - 2 * OP * BO * cos(PBO).
   Untuk mencari PB, kita perlu segitiga siku-siku. Misalkan kita proyeksikan P ke BC di titik Q. PQ akan sejajar AB.
   Lebih mudah menggunakan segitiga POB. Kita perlu panjang PB. Kita bisa gunakan segitiga PCO atau PBO.
   Perhatikan segitiga BCO. Ini adalah segitiga siku-siku di O. BO = CO = 3a*sqrt(2).
   Sekarang kita perlu mencari PB. P pada AC. Perbandingan OP:PC = 1:2. Kita bisa gunakan teorema vektor atau aturan kosinus pada segitiga POB.
   Mari kita gunakan koordinat. Misalkan O=(0,0). Maka A=(-3a, 3a), C=(3a, -3a), B=(3a, 3a).
   AC terletak pada garis y=-x. P pada AC sehingga OP:PC=1:2. Vektor OC = C - O = (3a, -3a). Vektor OP = (1/3) * Vektor OC = (a, -a). Jadi P=(a, -a).
   BO = jarak dari (0,0) ke (3a, 3a) = sqrt((3a)^2 + (3a)^2) = sqrt(18a^2) = 3a*sqrt(2).
   PB = jarak dari (3a, 3a) ke (a, -a) = sqrt((3a-a)^2 + (3a-(-a))^2) = sqrt((2a)^2 + (4a)^2) = sqrt(4a^2 + 16a^2) = sqrt(20a^2) = 2a*sqrt(5).
   OP = jarak dari (0,0) ke (a, -a) = sqrt(a^2 + (-a)^2) = sqrt(2a^2) = a*sqrt(2).
   Dalam segitiga PBO, sisi-sisinya adalah OP = a*sqrt(2), BO = 3a*sqrt(2), PB = 2a*sqrt(5).
   Gunakan aturan kosinus: PB^2 = OP^2 + BO^2 - 2*OP*BO*cos(PBO)
   (2a*sqrt(5))^2 = (a*sqrt(2))^2 + (3a*sqrt(2))^2 - 2*(a*sqrt(2))*(3a*sqrt(2))*cos(PBO)
   20a^2 = 2a^2 + 18a^2 - 2*(6a^2)*cos(PBO)
   20a^2 = 20a^2 - 12a^2*cos(PBO)
   0 = -12a^2*cos(PBO)
   cos(PBO) = 0.
   Jika cos(PBO) = 0, maka sudut PBO adalah 90 derajat. Nilai sin(90) = 1.