Nilai dari integral (akar(x) + 1/2 akar(x)) dx adalah ....

\( \frac{2}{3}x^{3/2} + x^{1/2} + C \)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral \( \int (\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}) dx \), kita perlu menggunakan aturan pangkat untuk integral.

Pertama, ubah bentuk \(\sqrt{x}\) menjadi \(x^{1/2}\) dan \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) menjadi \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\).

Jadi, integralnya menjadi: \( \int (x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}) dx \)

Sekarang, kita integralkan masing-masing suku menggunakan aturan pangkat \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (di mana n \(\neq\) -1).

Integral dari \(x^{1/2}\) adalah: \(\frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}\)

Integral dari \(\frac{1}{2}x^{-1/2}\) adalah: \(\frac{1}{2} \times \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{1}{2} \times \frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{1}{2} \times 2x^{1/2} = x^{1/2}\)

Gabungkan hasil integralnya dan tambahkan konstanta integrasi C:
\( \frac{2}{3}x^{3/2} + x^{1/2} + C \)

Kita bisa menyederhanakan \(x^{1/2}\) menjadi \(\sqrt{x}\) dan \(x^{3/2}\) menjadi \(x\sqrt{x}\).

Jadi, nilai dari integralnya adalah \( \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \sqrt{x} + C \).